math-ai/BlueMO

1{2    "source_file": "./raw_volume-zh/volume8/chapter1.tex",3    "text": "复数的概念及代数运算.\n复数概念的引人最初是为了求解\n$$\nx^2+1=0\n$$\n这样的没有实根的方程, 因此复数集可以看作实数集的一个自然的扩充.\n为此, 首先引进一个\"新数\" $i$, 使它满足\n$$\n\\mathrm{i}^2=-1,\n$$\n即 $\\mathrm{i}$ 适合方程 $x^2+1=0$. 这个新数 $\\mathrm{i}$ 称为虚数单位.\n将 $\\mathrm{i}$ 添加到实数集中去, 定义:形如 $z=a+b \\mathrm{i}$ ( $a 、 b$ 均是实数) 的表达式称为一个复数.\n其中的 $a$ 和 $b$ 分别叫做复数 $z$ 的实部和虚部, 分别记作\n$$\na=\\operatorname{Re}(z), b=\\operatorname{Im}(z) .\n$$\n一、复数 $z=a+b \\mathrm{i}(a 、 b \\in \\mathrm{R})$ 的分类.\n当虚部 $b=0$ 时,复数 $z$ 是实数;\n当虚部 $b \\neq 0$ 时,复数 $z$ 是虚数;\n当虚部 $b \\neq 0$, 且实部 $a=0$ 时,复数 $z$ 是纯虚数.\n如果记\n$\\mathbf{R}$ 一一实数集\n$\\mathbf{C}$ 一一复数集\n$\\mathbf{P}$ 一一虚数集\n$\\mathbf{Q}$ 一一纯虚数集\n就有关系\n$$\n\\mathbf{R} \\cap \\mathbf{P}=\\varnothing \\quad \\mathbf{R} \\cup \\mathbf{P}=\\mathbf{C} \\quad \\mathbf{Q} \\varsubsetneqq \\mathbf{P} \\varsubsetneqq \\mathbf{C}\n$$\n二、复数相等的充要条件.\n对于两个复数 $z_1=a+b \\mathrm{i}(a 、 b \\in \\mathbf{R}), z_2=c+d \\mathrm{i}(c 、 d \\in \\mathbf{R})$, 二者相等的充要条件是 $a=c$ 且 $b=d$, 即\n$$\na+b \\mathrm{i}=c+d \\mathrm{i} \\Leftrightarrow\\left\\{\\begin{array}{l}\na=c, \\\\\nb=d .\n\\end{array}\\right.\n$$\n复数相等的充要条件是复数问题化归为实数问题的理论依据, \"化虚为实\"是解决复数问题的通性通法.\n三、复数的运算法则.\n对于两个复数 $a+b \\mathrm{i} 、 c+d \\mathrm{i}(a, b, c, d \\in \\mathbf{R})$.\n加法: $(a+b \\mathrm{i})+(c+d \\mathrm{i})=(a+c)+(b+\\dot{d}) \\mathrm{i}$;\n减法: $(a+b \\mathrm{i})-(c+d \\mathrm{i})=(a-c)+(b-d) \\mathrm{i}$;\n乘法: $(a+b \\mathrm{i})(c+d \\mathrm{i})=(a c-b d)+(b c+a d) \\mathrm{i}$;\n除法: $\\frac{a+b \\mathrm{i}}{c+\\bar{d}}=\\frac{a c+b d}{c^2+d^2}+\\frac{b c-a d}{c^2+d^2} \\mathrm{i}(c+d \\mathrm{i} \\neq 0)$.\n四、复数的运算定律.\n复数的加法满足交换律、结合律, 也就是说, 对于任何复数 $z_1 、 z_2 、 z_3$, 均有\n$$\n\\begin{gathered}\nz_1+z_2=z_2+z_1, \\\\\n\\left(z_1+z_2\\right)+z_3=z_1+\\left(z_2+z_3\\right) .\n\\end{gathered}\n$$\n复数的乘法满足交换律、结合律, 以及乘法对于加法的分配律.\n也就是说, 对于复数 $z_1 、 z_2 、 z_3$,均有\n$$\n\\begin{aligned}\nz_1 z_2 & =z_2 z_1, \\\\\n\\left(z_1 z_2\\right) z_3 & =z_1\\left(z_2 z_3\\right), \\\\\nz_1\\left(z_2+z_3\\right) & =z_1 z_2+z_1 z_3 .\n\\end{aligned}\n$$\n五、共轭复数的性质.\n当两个复数的实部相等, 虚部互为相反数时, 就称其互为共轭复数.\n特别地, 若复数的虚部不为零时, 也称作互为共轭虚数.\n对于复数 $z=a+b \\mathrm{i}(a$ 、 $b \\in \\mathbf{R})$, 它的共轭复数用 $\\bar{z}=a-b \\mathrm{i}(a 、 b \\in \\mathbf{R})$ 来表示.\n共轭复数有如下基本性质:\n(1) $\\overline{z_1 \\pm z_2}=\\overline{z_1} \\pm \\overline{z_2}$;\n(2) $\\overline{z_1 z_2}=\\overline{z_1} \\overline{z_2}$;\n(3) $\\overline{\\left(\\frac{z_1}{z_2}\\right)}=\\frac{\\overline{z_1}}{\\overline{z_2}}\\left(z_2 \\neq 0\\right)$;\n(4) $\\overline{z^n}=(\\bar{z})^n$;\n(5) $z+\\bar{z}=2 \\operatorname{Re}(z), z-\\bar{z}=2 \\mathrm{i} \\operatorname{Im}(z)$;\n(6) $\\overline{\\bar{z}}=z$;\n(7) $z$ 是实数的充要条件是 $\\bar{z}=z ; z$ 是纯虚数的充要条件是 $\\bar{z}=-z$ 且 $z \\neq 0$.\n六、复数的几何形式.\n复数 $a+b \\mathrm{i}(a 、 b \\in \\mathbf{R})$ 与复平面上的点 $Z(a, b)$ 是一一对应的, 点 $Z(a, b)$ 和向量 $\\overrightarrow{O Z}$ 也构成一一对应关系, 点 $Z$ 和间量 $\\overrightarrow{O Z}$ 均是复数 $z=a+b \\mathrm{i}$ 的几何形式.\n向量 $\\overrightarrow{O Z}$ 的模 $r$ 称为复数 $z=a+b \\mathrm{i}$ 的模 $|z|$, 即\n$$\nr=|z|=\\sqrt{a^2+b^2} .\n$$\n这种对应关系的构建, 揭示了复数问题与向量问题之间的相互转化, 说明了向量方法是解决复数问题的一条有效途径.\n关于复数的模,有如下的基本性质:\n(1) $z \\bar{z}=|z|^2=|\\bar{z}|^2$;\n(2) ||$z_1|-| z_2|| \\leqslant\\left|z_1 \\pm z_2\\right| \\leqslant\\left|z_1\\right|+\\left|z_2\\right|$;\n(3) $|z| \\geqslant \\max \\{|\\operatorname{Re}(z)|,|\\operatorname{Im}(z)|\\}$.",4    "figures": []5}