math-ai/BlueMO

1{2    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/chapter2.tex",3    "text": "集合的交集、并集、补集三种基本运算是通过元素与集合的关系来定义的:\n$$\n\\begin{aligned}\n& A \\cap B=\\{x \\mid x \\in A, \\text { 且 } x \\in B\\}, \\\\\n& A \\cup B=\\{x \\mid x \\in A, \\text { 或 } x \\in B\\}, \\\\\n& \\complement_U A=\\{x \\mid A \\subseteq U, x \\in U, \\text { 且 } x \\notin A\\} .\n\\end{aligned}\n$$\n请注意这里的逻辑关联词“且”、“或”, 它们在集合运算的定义中起了决定性的作用.\n有时, 我们还要用到集合的差集的概念.\n定义由属于集合 $A$ 但不属于集合 $B$ 的全体元素组成的集合叫做集合\n$A$ 对 $B$ 的差集, 记作 $A \\backslash B$ (或 $A-B$ ), 即\n$$\nA \\backslash B=\\{x \\mid x \\in A \\text {, 且 } x \\notin B\\} .\n$$\n由这个定义可以看出, 补集只是差集的一种特殊情况.\n记 $U$ 为全集, 容易证明集合的运算满足如下法则:\n(1) 等幂律: $A \\cap A=A, A \\cup A=A$;\n(2) 同一律: $A \\cap U=A, A \\cup U=U$,\n$$\nA \\cap \\varnothing=\\varnothing, A \\cup \\varnothing=A ;\n$$\n(3) 互补律: $A \\cap \\complement_U A=\\varnothing, A \\cup \\complement_U A=U$;\n(4) 交换律: $A \\cap B=B \\cap A, A \\cup B=B \\cup A$;\n(5) 结合律: $A \\cap(B \\cap C)=(A \\cap B) \\cap C$,\n$$\nA \\cup(B \\cup C)=(A \\cup B) \\cup C\n$$\n(6) 分配律: $A \\cap(B \\cup C)=(A \\cap B) \\cup(A \\cap C)$,\n$$\nA \\cup(B \\cap C)=(A \\cup B) \\cap(A \\cup C) \\text {; }\n$$\n(7) 吸收律: $A \\cup(A \\cap B)=A, A \\cap(A \\cup B)=A$;\n(8) 反演律 (摩根律) : $\\complement_U(A \\cap B)=\\complement_U A \\cup \\complement_U B$,\n$$\n\\complement_U(A \\cup B)=\\complement_U A \\cap \\complement_U B .\n$$\n利用维恩图可以清晰地理解集合的交、并、补、差运算及其运算律.\n维恩图为集合问题的解决提供了一个直观的工具.",4    "figures": []5}