math-ai/BlueMO

1{2    "source_file": "./raw_volume-zh/volume8/exercise6.tex",3    "problem_type": "calculation",4    "problem": "问题4. 对于 $n$ 个向量 $\\overrightarrow{a_1}, \\overrightarrow{a_2}, \\cdots, \\overrightarrow{a_n}$, 如存在不全为零的 $n$ 个实数 $k_1, k_2, \\cdots, k_n$, 使 $k_1 \\overrightarrow{a_1}+k_2 \\overrightarrow{a_2}+\\cdots+k_n \\overrightarrow{a_n}=\\overrightarrow{0}$ 成立, 则称这 $n$ 个向量 $\\overrightarrow{a_1}, \\overrightarrow{a_2}, \\cdots, \\overrightarrow{a_n}$ 线性相关; 反之如果 $k_1 \\overrightarrow{a_1}+k_2 \\overrightarrow{a_2}+\\cdots+k_n \\overrightarrow{a_n}=\\overrightarrow{0}$ 当且仅当 $k_1=k_2=\\cdots= k_n=0$ 时成立,则称这 $n$ 个向量 $\\overrightarrow{a_1}, \\overrightarrow{a_2}, \\cdots, \\overrightarrow{a_n}$ 线性无关.\n在棱长为 1 的立方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, $N$ 为正方形 $A_1 B_1 C_1 D_1$ 的中心.\n(1) 判断 $\\overrightarrow{A A_1}$ 和 $\\overrightarrow{B C} ; \\overrightarrow{A_1 N}$ 和 $\\overrightarrow{C A} ; \\overrightarrow{A_1 N}$ 和 $\\overrightarrow{B_1 D_1}$ 是否线性相关?\n(2) 判断 $\\overrightarrow{A A_1} 、 \\overrightarrow{A B}$ 和 $\\overrightarrow{B C} ; \\overrightarrow{A_1 D_1} 、 \\overrightarrow{A_1 B_1}$ 和 $\\overrightarrow{A C}$ 这两组向量是否线性相关?\n(3) 说明 $\\vec{a} 、 \\vec{b}$ 线性相关和 $\\vec{a} 、 \\vec{b} 、 \\vec{c}$ 线性相关的几何意义.",5    "solution": "如图(<FilePath:./images/volume8/figures/fig-c6a4.png>), 建立空间直角坐标系, 则 $A(0,0,0)$, $A_1(0,0,1), B(1,0,0), C(1,1,0), N\\left(\\frac{1}{2}, \\frac{1}{2}, 1\\right)$, $D(0,1,0), D_1(\\theta, 1,1), B_1(1,0,1)$.\n(1) $\\overrightarrow{A A_1}=\\{0,0,1\\}, \\overrightarrow{B C}=\\{0,1,0\\}$.\n设 $k_1 、 k_2 \\in \\mathbf{R}$, 有 $k_1 \\overrightarrow{A A_1}+k_2 \\overrightarrow{B C}=\\overrightarrow{0}$, 即 $\\left\\{0, k_2\\right.$, $\\left.k_1\\right\\}=\\overrightarrow{0}$.\n所以 $k_1=k_2=0$,所以 $\\overrightarrow{A A_1}$ 和 $\\overrightarrow{B C}$ 线性无关, $\\overrightarrow{A A_1}$\n和 $\\overrightarrow{B C}$ 不平行.\n$$\n\\overrightarrow{A_1} \\vec{N}=\\left\\{\\frac{1}{2}, \\frac{1}{2}, 0\\right\\}, \\overrightarrow{C A}=\\{-1,-1,0\\}\n$$\n设 $k_1 、 k_2 \\in \\mathbf{R}$, 有 $k_1 \\overrightarrow{A_1} \\vec{N}+k_2 \\overrightarrow{C A}=\\overrightarrow{0}$, 即 $\\left\\{\\frac{1}{2} k_1-k_2, \\frac{1}{2} k_1-k_2, 0\\right\\}=\\overrightarrow{0}$. 此时存在不全为零的实数 $k_1=2, k_2=1$ 有 $k_1 \\overrightarrow{A_1 N}+k_2 \\overrightarrow{C A}=\\overrightarrow{0}$, 所以 $\\overrightarrow{A_1 N}$ 和 $\\overrightarrow{C A}$ 线性相关, $\\overrightarrow{A_1 N}$ 和 $\\overrightarrow{C A}$ 平行.\n$$\n\\overrightarrow{A_1 N}=\\left\\{\\frac{1}{2}, \\frac{1}{2}, 0\\right\\}, \\overrightarrow{B_1 D_1}=\\{-1,1,0\\} .\n$$\n设 $k_1 、 k_2 \\in \\mathbf{R}$, 有 $k_1 \\overrightarrow{A_1 N}+k_2 \\overrightarrow{B_1 D_1}=\\overrightarrow{0}$, 即 $\\left\\{\\frac{k_1}{2}-k_2, \\frac{k_1}{2}+k_2, 0\\right\\}=\\overrightarrow{0}$.\n所以 $\\left\\{\\begin{array}{l}\\frac{k_1}{2}-k_2=0, \\\\ \\frac{k_1}{2}+k_2=0 .\\end{array}\\right.$ 即 $k_1=k_2=0$.\n所以 $\\overrightarrow{A_1 N}$ 和 $\\overrightarrow{B_1 D_1}$ 线性无关, $\\overrightarrow{A_1 N}$ 和 $\\overrightarrow{B_1 D_1}$ 不平行.\n(2) $\\overrightarrow{A A_1}=\\{0,0,1\\}, \\overrightarrow{A B}=\\{1,0,0\\}, \\overrightarrow{B C}=\\{0,1,0\\}$.\n设 $k_1 、 k_2 、 k_3 \\in \\mathbf{R}$, 有 $k_1 \\overrightarrow{A A_1}+k_2 \\overrightarrow{A B}+k_3 \\overrightarrow{B C}=\\overrightarrow{0}$, 即 $\\left\\{k_2, k_3, k_1\\right\\}=\\overrightarrow{0}$.\n所以 $k_1=k_2=k_3=0$, 所以 $\\overrightarrow{A A_1} 、 \\overrightarrow{A B} 、 \\overrightarrow{B C}$ 线性无关, $\\overrightarrow{A A_1} 、 \\overrightarrow{A B} 、 \\overrightarrow{B C}$ 不共面.\n$$\n\\overrightarrow{A_1 D_1}=\\{0,1,0\\}, \\overrightarrow{A_1 B_1}=\\{1,0,0\\}, \\overrightarrow{A C}=\\{1,1,0\\} .\n$$\n设 $k_1 、 k_2 、 k_3 \\in \\mathbf{R}$, 有 $k_1 \\overrightarrow{A_1 D_1}+k_2 \\overrightarrow{A_1 B_1}+k_3 \\overrightarrow{A C}=\\overrightarrow{0}$, 即 $\\left\\{k_2+k_3, k_1+\\right. \\left.k_3, 0\\right\\}=\\overrightarrow{0}$.\n所以 $\\left\\{\\begin{array}{l}k_2+k_3=0, \\\\ k_1+k_3=0 .\\end{array}\\right.$ 可以取 $k_1=k_2=1, k_3=-1$.\n所以存在不全为零的系数 $k_1=k_2=1, k_3=-1$ 有 $k_1 \\overrightarrow{A_1 D_1}+k_2 \\overrightarrow{A_1 B_1}+ k_3 \\overrightarrow{A C}=\\overrightarrow{0}$.\n所以 $\\overrightarrow{A_1 D_1} 、 \\overrightarrow{A_1 B_1} 、 \\overrightarrow{A C}$ 线性相关, $\\overrightarrow{A_1 D_1} 、 \\overrightarrow{A_1 B_1} 、 \\overrightarrow{A C}$ 可以共面.\n(3) $\\vec{a} 、 \\vec{b}$ 线性相关当且仅当 $\\vec{a}$ 和 $\\vec{b}$ 平行, $\\vec{a} 、 \\vec{b} 、 \\vec{c}$ 线性相关当且仅当 $\\vec{a} 、 \\vec{b} 、 \\vec{c}$ 共面.",6    "remark": "",7    "figures": [8        "./images/volume8/figures/fig-c6a4.png"9    ]10}