math-ai/BlueMO

1{2    "source_file": "./raw_volume-zh/volume8/exercise6.tex",3    "problem_type": "calculation",4    "problem": "问题3. 如图(<FilePath:./images/volume8/figures/fig-c6p3.png>), 直四棱柱 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, $A D / / B C$, 且 $\\angle C B A=90^{\\circ}, B C=2, A D=6, A B= 2, A A_1=4$, 且 $C E=C_1 E, C G=D G, A F= \\frac{1}{2} F D$, 求:\n(1) $E F$ 和 $D_1 G$ 所成角的大小;\n(2) $E F$ 与平面 $A_1 C_1$ 所成角的大小;\n(3) 二面角 $E-F G-D_1$ 的平面角的大小.",5    "solution": "如图(<FilePath:./images/volume8/figures/fig-c6a3.png>), 建立空间直角坐标系, 则 $E(2,2$, 2), $F(0,2,0), D_1(0,6,4), G(1,4,0)$.\n(1) $\\overrightarrow{E F}=\\{-2,0,-2\\}, \\overrightarrow{D_1 G}=\\{1,-2$, $-4\\}, \\cos \\alpha=\\frac{\\overrightarrow{E F} \\cdot \\overrightarrow{D_1 G}}{|\\overrightarrow{E F}| \\cdot\\left|\\overrightarrow{D_1 G}\\right|}=\\frac{-2+8}{2 \\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{21}}= \\frac{\\sqrt{21}}{14}$\n所以 $E F$ 和 $D_1 G$ 所成的角为 $\\arccos \\frac{\\sqrt{21}}{14}$.\n(2)显然 $\\overrightarrow{p_0}=\\{0,0,-1\\}$ 是平面 $A_1 C_1$ 的一个单位法向量.\n所以 $\\cos \\beta=\\frac{\\overrightarrow{E F} \\cdot \\overrightarrow{p_0}}{|\\overrightarrow{E F}|}=\\frac{2}{2 \\sqrt{2}}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$, 故 $\\frac{\\pi}{2}-\\beta=\\frac{\\pi}{4}$.\n所以 $E F$ 与平面 $A_1 C_1$ 所成的角为 $\\frac{\\pi}{4}$.\n(3) 因为平面 $x O y$ 内 $F G$ 的直线方程为 $2 x-y+2=0$, 设 $P 、 Q$ 在直线 $F G$ 上, 且 $E P \\perp F G, D_1 Q \\perp F G$, 则可设 $P\\left(t_1, 2 t_1+2,0\\right), Q\\left(t_2, 2 t_2+2\\right.$, $0)\\left(t_1 、 t_2 \\in \\mathbf{R}\\right)$.\n因为 $\\left\\{\\begin{array}{l}\\overrightarrow{E P} \\cdot \\overrightarrow{F G}=0, \\\\ \\overrightarrow{D_1 Q} \\cdot \\overrightarrow{F G}=0,\\end{array}\\right.$ 所以 $\\left\\{\\begin{array}{l}\\left\\{t_1-2,2 t_1,-2\\right\\} \\cdot\\{1,2,0\\}=0, \\\\ \\left\\{t_2, 2 t_2-4,-4\\right\\} \\cdot\\{1,2,0\\}=0 .\\end{array}\\right.$\n即 $\\left\\{\\begin{array}{l}t_1-2+4 t_1=0, \\\\ t_2+4 t_2-8=0 .\\end{array}\\right.$ 解方程, 得 $\\left\\{\\begin{array}{l}t_1=\\frac{2}{5}, \\\\ t_2=\\frac{8}{5} .\\end{array}\\right.$\n所以 $\\overrightarrow{E P}=\\left\\{-\\frac{8}{5}, \\frac{4}{5},-2\\right\\}, \\overrightarrow{D_1 Q}=\\left\\{\\frac{8}{5},-\\frac{4}{5},-4\\right\\}$, 故\n$$\n\\cos \\theta=\\frac{\\overrightarrow{E P} \\cdot \\overrightarrow{D_1 Q}}{|\\overrightarrow{E P}| \\cdot\\left|\\overrightarrow{D_1 Q}\\right|}=\\frac{-\\frac{64}{25}-\\frac{16}{25}+8}{\\frac{3 \\sqrt{20}}{5} \\cdot \\frac{4 \\sqrt{30}}{5}}=\\frac{\\sqrt{6}}{6} \\text {. }\n$$\n所以二面角 $E-F G-D_1$ 的大小为 $\\arccos \\frac{\\sqrt{6}}{6}$.",6    "remark": "",7    "figures": [8        "./images/volume8/figures/fig-c6p3.png",9        "./images/volume8/figures/fig-c6a3.png"10    ]11}