math-ai/BlueMO

1{2    "source_file": "./raw_volume-zh/volume8/exercise2.tex",3    "problem_type": "calculation",4    "problem": "问题7. 已知复数 $z_1 、 z_2$ 满足 $\\left|z_1\\right|==\\left|z_2\\right|=1$.\n(1) 若 $z_1-z_2=\\frac{\\sqrt{6}}{3}+\\frac{\\sqrt{3}}{3} \\mathrm{i}$, 求 $z_1 、 z_2$ 的值;\n(2) 若 $z_1+z_2=\\frac{12}{13}-\\frac{5}{13} \\mathrm{i}$, 求 $z_1 z_2$ 的值.",5    "solution": "注意到 $\\left|z_1+z_2\\right| 、\\left|z_1-z_2\\right|$ 分别是以 $\\left|z_1\\right| 、\\left|z_2\\right|$ 为邻边的平行四边形的对角线.\n(1) 因为 $\\left|z_1-z_2\\right|=1=\\left|z_1\\right|=\\left|z_2\\right|$, 所以 $\\left|z_1\\right| 、\\left|z_2\\right| 、\\left|z_1-z_2\\right|$ 是正三角形的边.\n复数 $z_1 、 z_2$ 分别可以看作 $z_1-z_2$ 按顺时针或逆时针旋转 $\\frac{\\pi}{3}$ 、 $\\frac{2 \\pi}{3}$ 得到.\n于是\n$$\n\\begin{aligned}\n& z_1=\\left(\\frac{\\sqrt{6}}{3}+\\frac{\\sqrt{3}}{3} \\mathrm{i}\\right)\\left(\\frac{1}{2}-\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\mathrm{i}\\right)=\\frac{1}{6}[(\\sqrt{6}+3)+(\\sqrt{3}-3 \\sqrt{2}) \\mathrm{i}], \\\\\n& z_2=\\left(\\frac{\\sqrt{6}}{3}+\\frac{\\sqrt{3}}{3} \\mathrm{i}\\right)\\left(-\\frac{1}{2}-\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\mathrm{i}\\right)=\\frac{1}{6}[(-\\sqrt{6}+3)+(-\\sqrt{3}-3 \\sqrt{2}) \\mathrm{i}]\n\\end{aligned}\n$$\n或 $z_1=\\left(\\frac{\\sqrt{6}}{3}+\\frac{\\sqrt{3}}{3} \\mathrm{i}\\right)\\left(\\frac{1}{2}+\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\mathrm{i}\\right)=\\frac{1}{6}[(\\sqrt{6}-3)+(\\sqrt{3}+3 \\sqrt{2}) \\mathrm{i}]$,\n$$\nz_2=\\left(\\frac{\\sqrt{6}}{3}+\\frac{\\sqrt{3}}{3} \\mathrm{i}\\right)\\left(-\\frac{1}{2}+\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\mathrm{i}\\right)=\\frac{1}{6}[(-\\sqrt{6}-3)+(-\\sqrt{3}+3 \\sqrt{2}) \\mathrm{i}] .\n$$\n(2) 因为 $\\left|z_1+z_2\\right|=1=\\left|z_1\\right|=\\left|z_2\\right|$, 所以 $\\left|z_1\\right| 、\\left|z_2\\right| 、\\left|z_1-z_2\\right|$ 组成顶角为 $\\frac{2 \\pi}{3}$, 以 $\\left|z_1\\right| 、\\left|z_2\\right|$ 为腰长的等腰三角形.\n$z_1+z_2$ 按逆(顺) 时针旋转 $\\frac{\\pi}{3}$ 后, 就可得出 $z_1$ 或 $z_2$ (如图(<FilePath:./images/volume8/figures/fig-c2a7.png>)所示).\n设 $z_0=\\cos 60^{\\circ}+\\mathrm{i} \\sin 60^{\\circ}$, 则当 $z_1=\\left(z_1+z_2\\right) z_0$ 时, $z_2= \\frac{z_1+z_2}{z_0}$; 当 $z_1=\\frac{z_1+z_2}{z_0}$ 时, $z_2=\\left(z_1+z_2\\right) z_0$.\n于是 $z_1 z_2=\\left(z_1+z_2\\right)^2=\\left(\\frac{12}{13}-\\frac{5}{13} \\mathrm{i}\\right)^2=\\frac{119}{169}-\\frac{120}{169} \\mathrm{i}$.",6    "remark": "注:对于第(1)小题,应用复数减法的几何意义就可直接求出 $z_1 、 z_2$, 但应注意复数旋转的方向和具有相同的始点.",7    "figures": [8        "./images/volume8/figures/fig-c2a7.png"9    ]10}