math-ai/BlueMO

1{2    "source_file": "./raw_volume-zh/volume8/exercise1.tex",3    "problem_type": "calculation",4    "problem": "问题3. 已知实数 $a 、 x 、 y$ 满足 $a^2+(4+\\mathrm{i}) a+2 x y+(x-y) \\mathrm{i}=0$, 则点 $(x, y)$ 的轨迹是 ( ).\n(A) 直线\n(B) 圆心在原点的圆\n(C) 圆心不在原点的圆\n(D) 椭圆",5    "solution": "C.\n将题设之式整理得\n$$\na^2+4 a+2 x y+(a+x-y) \\mathrm{i}=0,\n$$\n则且\n$$\n\\begin{gathered}\na^2+4 a+2 x y=0, \\label{eq1}\\\\\na+x-y=0 . \\label{eq2}\n\\end{gathered}\n$$\n由式\\ref{eq2}, $a=y-x$, 代入式\\ref{eq1}得\n$$\n(y-x)^2+4(y-x)+2 x y=0,\n$$\n即\n$$\n\\begin{gathered}\nx^2+y^2-4 x+4 y=0, \\\\\n(x-2)^2+(y+2)^2=8 .\n\\end{gathered}\n$$\n故应选取 C",6    "remark": "",7    "figures": []8}