math-ai/BlueMO

1{2    "source_file": "./raw_volume-zh/volume8/chapter8.tex",3    "problem_type": "calculation",4    "problem": "例1. 对于给定的角 $\\alpha_1, \\alpha_2, \\cdots, \\alpha_n$, 试讨论方程\n$$\nx^n+x^{n-1} \\sin \\alpha_1+x^{n-2} \\sin \\alpha_2+\\cdots+x \\sin \\alpha_{n-1}+\\sin \\alpha_n=0\n$$\n是否有模大于 2 的复数根?",5    "solution": "分析:与解答案是否定的.\n可以考虑从反面人手去解决.\n假定存在 $x_0$ 是原方程的复数解, 并且 $\\left|x_0\\right|>2$, 则有\n$$\nx_0^n=-x_0^{n-1} \\sin \\alpha_1-\\cdots-x_0 \\sin \\alpha_{n-1}-\\sin \\alpha_n,\n$$\n从而对上式两边取模, 并应用模的不等式, 得\n$$\n\\begin{aligned}\n\\left|x_0\\right|^n & \\leqslant\\left|x_0\\right|^{n-1}\\left|\\sin \\alpha_1\\right|+\\cdots+\\left|x_0\\right|\\left|\\sin \\alpha_{n-1}\\right|+\\left|\\sin \\alpha_n\\right| \\\\\n& \\leqslant\\left|x_0\\right|^{n-1}+\\left|x_0\\right|^{n-2}+\\cdots+\\left|x_0\\right|+1 \\\\\n& =\\frac{\\left|x_0\\right|^n-1}{\\left|x_0\\right|-1}<\\frac{\\left|x_0\\right|^n}{\\left|x_0\\right|-1}<\\frac{\\left|x_0\\right|^n}{2-1}=\\left|x_0\\right|^n .\n\\end{aligned}\n$$\n这显然产生矛盾, 由此说明原方程没有模大于 2 的复数根.",6    "remark": "注:将一个等于 0 的式子中起主要作用的项移到 0 的那边, 再两边取模, 用不等式放缩, 是一个重要的技巧, 在之前第三章的例 7 , 例 8 中已有这样的手法, 在之后的例题中仍会出现, 望读者注意.",7    "figures": []8}