math-ai/BlueMO

1{2    "source_file": "./raw_volume-zh/volume8/chapter6.tex",3    "problem_type": "calculation",4    "problem": "例6. 如图(<FilePath:./images/volume8/figures/fig-c6i6.png>), 长方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, $A B= B C=4, A A_1=8, E$ 为 $C C_1$ 的中点, $O$ 为下底面正方形的中心.\n求:\n(1) 二面角 $C_1-A_1 B_1-O$ 的平面角 $\\alpha$ 的大小;\n(2) 异面直线 $A_1 B_1$ 和 $E O$ 所成角的大小;\n(3) 三棱雉 $O-A_1 B_1 E$ 的体积.",5    "solution": "分析:与解 (1) 如图(<FilePath:./images/volume8/figures/fig-c6i7.png>) 建立图间直角坐标系, 则 $O(2,2,0), C_1(0,4,8), A_1(4,0,8), B_1(4,4,8)$,\n$E(0,4,4), \\overrightarrow{A_1 B_1}=\\{0,4,0\\}, \\overrightarrow{A_1 O}=\\{-2,2,-8\\}$.\n设 $\\overrightarrow{n_0}=\\{x, y, z\\}$ 是平面 $A_1 B_1 O$ 的单位法向量, 则\n$$\n\\left\\{\\begin{array}{l}\n\\overrightarrow{n_0} \\cdot \\overrightarrow{A_1 B_1}=0, \\\\\n\\overrightarrow{n_0} \\cdot \\overrightarrow{A_1 O}=0, \\\\\n\\left|\\overrightarrow{n_0}\\right|=1 .\n\\end{array}\\right.\n$$\n所以\n$$\n\\left\\{\\begin{array}{l}\n4 y=0, \\\\\n-2 x+2 y-8 z=0, \\\\\nx^2+y^2+z^2=1\n\\end{array}\\right.\n$$\n由此解得\n$$\n\\left\\{\\begin{array} { l } \n{ x = - \\frac { 4 } { \\sqrt { 1 7 } } , } \\\\\n{ y = 0 , } \\\\\n{ z = - \\frac { 1 } { \\sqrt { 1 7 } } ; }\n\\end{array} \\text { 或 } \\left\\{\\begin{array}{l}\nx=-\\frac{4}{\\sqrt{17}}, \\\\\ny=0, \\\\\nz=\\frac{1}{\\sqrt{17}} .\n\\end{array}\\right.\\right.\n$$\n取 $\\overrightarrow{n_0}=\\left\\{\\frac{4}{\\sqrt{17}}, 0,-\\frac{1}{\\sqrt{17}}\\right\\}$.\n平面 $A_1 B_1 C_1$ 有一个单位法向量为 $\\overrightarrow{m_0}=\\{0,0,-1\\}$, 显然 $\\cos \\alpha>0$, 所以\n$$\n\\cos \\alpha=\\overrightarrow{m_0} \\cdot \\overrightarrow{n_0}=\\frac{1}{\\sqrt{17}}\n$$\n所以二面角 $C_1-A_1 B_1-O$ 的平面角的大小为 $\\arccos \\frac{1}{\\sqrt{17}}$.\n(2) $\\overrightarrow{A_1 B_1}=\\{0,4,0\\}, \\overrightarrow{E O}=\\{2,-2,-4\\}, \\cos \\beta=\\frac{\\overrightarrow{A_1 B_1} \\cdot \\overrightarrow{E O}}{\\left|\\overrightarrow{A_1 B_1}\\right| \\cdot|\\overrightarrow{E O}|}= \\frac{-8}{4 \\times 2 \\sqrt{6}}=-\\frac{\\sqrt{6}}{6}$\n所以异面直线 $A_1 B_1$ 和 $E O$ 所成的角为 $\\arccos \\frac{\\sqrt{6}}{6}$.\n(3) 因为 $\\overrightarrow{A_1 B_1}=\\{0,4,0\\}, \\overrightarrow{B_1 E}=\\{-4,0,-4\\}$, 所以 $\\overrightarrow{A_1 B_1} \\cdot \\overrightarrow{B_1 E}= 0,\\left|\\overrightarrow{A_1 B_1}\\right|=4,\\left|\\overrightarrow{B_1 E}\\right|=4 \\sqrt{2}$.\n所以 $S_{\\triangle A_1 B_1 E}=\\frac{1}{2} \\times 4 \\times 4 \\sqrt{2}=8 \\sqrt{2}$.\n设 $\\overrightarrow{p_0}$ 是平面 $A_1 B_1 O$ 的单位法向量, 记为 $\\overrightarrow{p_0}=\\{x, y, z\\}$, 则\n$$\n\\left\\{\\begin{array}{l}\n\\overrightarrow{p_0} \\cdot \\overrightarrow{A_1 B_1}=0, \\\\\n\\overrightarrow{p_0} \\cdot \\overrightarrow{B_1 E}=0, \\\\\n\\left|\\overrightarrow{p_0}\\right|=1 .\n\\end{array}\\right.\n$$\n所以\n$$\n\\left\\{\\begin{array}{l}\n4 y=0 \\\\\n-4 x-4 z=0, \\\\\nx^2+y^2+z^2=1\n\\end{array}\\right.\n$$\n由此解得\n$$\n\\left\\{\\begin{array} { l } \n{ x = \\frac { \\sqrt { 2 } } { 2 } , } \\\\\n{ y = 0 , } \\\\\n{ z = - \\frac { \\sqrt { 2 } } { 2 } ; }\n\\end{array} \\text { 或 } \\left\\{\\begin{array}{l}\nx=-\\frac{\\sqrt{2}}{2}, \\\\\ny=0, \\\\\nz=\\frac{\\sqrt{2}}{2} .\n\\end{array}\\right.\\right.\n$$\n取 $\\overrightarrow{p_0}=\\left\\{\\frac{\\sqrt{2}}{2}, 0,-\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right\\}, \\overrightarrow{O A_1}=\\{2,-2,8\\}$, 则 $h=\\left|\\overrightarrow{O A_1} \\cdot p_0\\right|= |\\sqrt{2}-4 \\sqrt{2}|=3 \\sqrt{2}$.\n所以 $V_{O A_1 B_1 E}=\\frac{1}{3} S_{\\triangle A_1 B_1 E} \\cdot h=\\frac{1}{3} \\times 8 \\sqrt{2} \\times 3 \\sqrt{2}=16$.",6    "remark": "",7    "figures": [8        "./images/volume8/figures/fig-c6i6.png",9        "./images/volume8/figures/fig-c6i7.png"10    ]11}