math-ai/BlueMO

1{2    "source_file": "./raw_volume-zh/volume8/chapter3.tex",3    "problem_type": "calculation",4    "problem": "例5. 设复平面上一个正方形的四个顶点对应的复数恰好是某个整系数一元四次方程 $x^4+p x^3+q x^2+r x+s=0$ 的四个根.\n求这个正方形面积的最小值.",5    "solution": "分析:与解设正方形的中心 $A$ 对应的复数是 $a$, 该正方形的顶点均匀分布在一个圆周上, 它们对应的复数是方程 $(x-a)^4=b$ 的解, 其中的 $b$ 是某个复数.\n于是\n$$\n\\begin{aligned}\n& x^4+p x^3+q x^2+r x+s \\\\\n= & (x-a)^4-b \\\\\n= & x^4-4 a x^3+6 a^2 x^2-4 a^3 x+a^4-b .\n\\end{aligned}\n$$\n通过对比系数, 可知 $-a=\\frac{p}{4}$ 是有理数, 再结合 $-4 a^3=r$ 是整数, 便知 $a$ 是整数.\n于是, 由 $a^4-b=s$ 是整数, 可知 $b$ 亦是整数.\n以上的讨论表明,正方形顶点对应的复数是整系数方程 $(x-a)^4=b$ 的根, 其外接圆半径 $\\sqrt[4]{|b|}$ 不小于 1 . 于是, 正方形的面积不小于 $(\\sqrt{2})^2=2$. 而方程 $x^4=1$ 的四个根在复平面上对应于-一个正方形的顶点, 此正方形面积为 2. 故所求正方形面积的最小值是 2 .",6    "remark": "",7    "figures": []8}