math-ai/BlueMO

1{2    "source_file": "./raw_volume-zh/volume8/chapter2.tex",3    "problem_type": "calculation",4    "problem": "例8. 已知数列 $\\left\\{a_n\\right\\} 、\\left\\{b_n\\right\\}$, 对大于 1 的整数 $n$,均成立\n$$\n\\begin{aligned}\n& a_n=a_{n-1} \\cos \\theta-b_{n-1} \\sin \\theta, \\\\\n& b_n=a_{n-1} \\sin \\theta+b_{n-1} \\cos \\theta,\n\\end{aligned}\n$$\n且 $a_1=1, b_1=\\tan \\theta$, 其中 $\\theta$ 为已知锐角, 试求数列 $\\left\\{a_n\\right\\} 、\\left\\{b_n\\right\\}$ 的通项公式.",5    "solution": "分析:与解引人复数,构造等比数列.\n设 $z_n=a_n+b_n \\mathrm{i}\\left(a_n, b_n \\in \\mathbf{R}, n \\in \\mathbf{N}^*\\right)$, 则\n$$\n\\begin{aligned}\n\\frac{z_n}{z_{n-1}} & =\\frac{\\left(a_{n-1} \\cos \\theta-b_{n-1} \\sin \\theta\\right)+\\left(a_{n-1} \\sin \\theta+b_{n-1} \\cos \\theta\\right) \\mathrm{i}}{a_{n-1}+b_{n-1} \\mathrm{i}} \\\\\n& =\\frac{(\\cos \\theta+\\mathrm{i} \\sin \\theta)\\left(a_{n-1}+b_{n-1} \\mathrm{i}\\right)}{a_{n-1}+b_{n-1} \\mathrm{i}} \\\\\n& =\\cos \\theta+\\mathrm{i} \\sin \\theta,\n\\end{aligned}\n$$\n这说明复数列 $\\left\\{z_n\\right\\}$ 是以 $z_1=1+\\mathrm{i} \\tan \\theta$ 为首项, 以 $q=\\cos \\theta+i \\sin \\theta$ 为公比的等比数列, 于是, 有\n$$\n\\begin{aligned}\nz_n & =(1+i \\tan \\theta)(\\cos \\theta+i \\sin \\theta)^{n-1} \\\\\n& =\\sec \\theta \\cdot(\\cos \\theta+i \\sin \\theta)(\\cos \\theta+i \\sin \\theta)^{n-1} \\\\\n& =\\sec \\theta \\cdot(\\cos \\theta+i \\sin \\theta)^n \\\\\n& =(\\cos n \\theta+i \\sin n \\theta) \\sec \\theta,\n\\end{aligned}\n$$\n故 $a_n=\\sec \\theta \\cdot \\cos n \\theta, b_n=\\sec \\theta \\cdot \\sin n \\theta$.",6    "remark": "注:这是复数与数列的结合.",7    "figures": []8}