math-ai/BlueMO

1{2    "source_file": "./raw_volume-zh/volume8/chapter2.tex",3    "problem_type": "calculation",4    "problem": "例2. 化下列各复数为三角形式:\n(1) $z=\\sqrt{6}-\\sqrt{2} \\mathrm{i}$;\n(2) $z=r(\\cos \\theta-i \\sin \\theta)(r>0)$;\n(3) $z=1+\\mathrm{i} \\tan \\theta\\left(\\theta \\neq k \\pi+\\frac{\\pi}{2}, k \\in \\mathbf{Z}\\right)$;\n(4) $z=1+\\cos \\theta-i \\sin \\theta$.",5    "solution": "分析:与解解决这类问题的关键是准确地掌握复数三角形式的四个外 部特征:\n模 $r \\geqslant 0$ 一一根据模的定义: 向量 $\\overrightarrow{O Z}$ 的长度有 $r \\geqslant 0$;\n角相同一这是因为两个角表示的是同一个复数的辐角;\n余弦在前, 正弦在后一一因为在 $a+b \\mathrm{i}$ 中, $a$ 是点 $(a, b)$ 的横坐标, 且 $a= r \\cos \\theta$, 所以\"余弦在前\";\n\"加\"相连一由 $a+b \\mathrm{i}$, 自然有\"加\"相连.\n(1) 因为 $|z|=2 \\sqrt{2}$, 并且\n$$\n\\left\\{\\begin{array}{l}\n\\sin \\theta=\\frac{-\\sqrt{2}}{2 \\sqrt{2}}=-\\frac{1}{2}, \\\\\n\\cos \\theta=\\frac{\\sqrt{6}}{2 \\sqrt{2}}=\\frac{\\sqrt{3}}{2} .\n\\end{array}\\right.\n$$\n解得 $\\theta=2 k \\pi+\\frac{11}{6} \\pi(k \\in \\mathbf{Z})$.\n所以 $z=\\sqrt{6}-\\sqrt{2} \\mathrm{i}$ 的三角形式是 $2 \\sqrt{2}\\left(\\cos \\frac{11}{6} \\pi+\\mathrm{i} \\sin \\frac{11}{6} \\pi\\right)$.\n(2) $z$\n$$\n\\begin{aligned}\nz & =r(\\cos \\theta-\\mathrm{i} \\sin \\theta) \\\\\n& =r[\\cos \\theta+\\mathrm{i} \\sin (-\\theta)] \\\\\n& =r[\\cos (-\\theta)+\\mathrm{i} \\sin (-\\theta)] .\n\\end{aligned}\n$$\n事实上, $r(\\cos \\theta+i \\sin \\theta)$ 与 $r(\\cos \\theta-i \\sin \\theta)$ 互为共轭复数; 它们在复平面上对应的向量关于实轴对称, 因此, 它们的模相等, 有一对辐角互为相反数, 即\n$$\nr(\\cos \\theta-\\mathrm{i} \\sin \\theta)=r[\\cos (-\\theta)+\\mathrm{i} \\sin (-\\theta)] .\n$$\n类似地有\n$$\n\\begin{aligned}\n& r(-\\cos \\theta+\\mathrm{i} \\sin \\theta)=r[\\cos (\\pi-\\theta)+\\mathrm{i} \\sin (\\pi-\\theta)], \\\\\n& -r(\\cos \\theta+\\mathrm{i} \\sin \\theta)=r[\\cos (\\pi+\\theta)+\\mathrm{i} \\sin (\\pi+\\theta)], \\\\\n& r(\\sin \\theta+i \\cos \\theta)=r\\left[\\cos \\left(\\frac{\\pi}{2}-\\theta\\right)+i \\sin \\left(\\frac{\\pi}{2}-\\theta\\right)\\right]\n\\end{aligned}\n$$\n等等.\n(3)利用三角函数公式\n$$\n\\begin{aligned}\nz & =1+\\mathrm{i} \\tan \\theta\\left(\\theta \\neq k \\pi+\\frac{\\pi}{2}, k \\in \\mathbf{Z}\\right) \\\\\n& =1+\\mathrm{i} \\frac{\\sin \\theta}{\\cos \\theta} \\\\\n& =\\frac{1}{\\cos \\theta}(\\cos \\theta+\\mathrm{i} \\sin \\theta) .\n\\end{aligned}\n$$\n至此, 不要以为它就是三角形式了, 由于 $\\theta$ 的取值范围不确定, $\\frac{1}{\\cos \\theta}$ 可正可负, 需讨论:\n当 $\\cos \\theta>0$ 时,复数的三角形式是 $\\sec \\theta(\\cos \\theta+i \\sin \\theta)$;\n当 $\\cos \\theta<0$ 时,复数的三角形式是 $-\\sec \\theta[\\cos (\\pi+\\theta)+i \\sin (\\pi+\\theta)]$.\n$$\n\\begin{aligned}\nz & =1+\\cos \\theta-i \\sin \\theta \\\\\n& =2 \\cos ^2 \\frac{\\theta}{2}-2 i \\sin \\frac{\\theta}{2} \\cos \\frac{\\theta}{2} \\\\\n& =2 \\cos \\frac{\\theta}{2}\\left(\\cos \\frac{\\theta}{2}-i \\sin \\frac{\\theta}{2}\\right) \\\\\n& =2 \\cos \\frac{\\theta}{2}\\left[\\cos \\left(-\\frac{\\theta}{2}\\right)+i \\sin \\left(-\\frac{\\theta}{2}\\right)\\right]\n\\end{aligned}\n$$\n当 $\\cos \\frac{\\theta}{2} \\geqslant 0$ 时,复数的三角形式是 $2 \\cos \\frac{\\theta}{2}\\left[\\cos \\left(-\\frac{\\theta}{2}\\right)+i \\sin \\left(-\\frac{\\theta}{2}\\right)\\right]$;\n当 $\\cos \\frac{\\theta}{2}<0$ 时,复数的三角形式是 $-2 \\cos \\frac{\\theta}{2}\\left[\\cos \\left(\\pi-\\frac{\\theta}{2}\\right)+i \\sin \\left(\\pi-\\frac{\\theta}{2}\\right)\\right]$.",6    "remark": "",7    "figures": []8}