math-ai/BlueMO

1{2    "source_file": "./raw_volume-zh/volume8/chapter2.tex",3    "problem_type": "calculation",4    "problem": "例1. 求下列各复数的辐角主值:\n(1) $z=\\mathrm{i} \\cos 100^{\\circ}$;\n(2) $z=a+b \\mathrm{i}\\left(a 、 b \\in \\mathbf{R}, a^2+b^2 \\neq 0\\right)$;\n(3) $z=\\sin 4(\\cos 4+\\operatorname{isin} 4)$;\n(4) $z=|\\cos \\theta|+\\mathrm{i}|\\sin \\theta|, \\theta \\in\\left(\\frac{5}{2} \\pi, 3 \\pi\\right)$.",5    "solution": "分析:与解 (1) 因为 $i \\cos 100^{\\circ}$ 是纯虚数, 且 $\\cos 100^{\\circ}<0$, 所以\n$\\arg \\left(\\right.$ icos $\\left.100^{\\circ}\\right)=\\frac{3}{2} \\pi$.\n(2). 由于 $a 、 b$ 不确定,需讨论, 分六类:\n当 $a>0, b>0$ 时,复数对应的点位于第一象限,由辐角主值的定义, $\\tan \\theta=\\frac{b}{a}$, 由反正切函数的定义知, $\\arg z=\\arctan \\frac{b}{a}$.\n当 $a<0, b>0$ 时,复数对应的点位于第二象限,\n$$\n\\arg z=\\pi-\\arctan \\frac{b}{|a|}=\\pi+\\arctan \\frac{b}{a} .\n$$\n当 $a<0, b<0$ 时,复数对应的点位于第三象限, $\\arg z=\\pi+\\arctan \\frac{b}{a}$.\n当 $a>0, b<0$ 时, 复数对应的点位于第四象限,\n$$\n\\arg z=2 \\pi-\\arctan \\frac{|b|}{a}=2 \\pi+\\arctan \\frac{b}{a} .\n$$\n当 $a=0$ 时,如果 $b>0, \\arg z=\\frac{\\pi}{2}$; 如果 $b<0, \\arg z=\\frac{3}{2} \\pi$.\n当 $b=0$ 时,如果 $a>0, \\arg z=0$; 如果 $a<0, \\arg z=\\pi$.\n综上所述\n$$\n\\arg z= \\begin{cases}\\arctan \\frac{b}{a}, & (a>0, b \\geqslant 0) \\\\ \\pi+\\arctan \\frac{b}{a}, & (a<0) \\\\ 2 \\pi+\\arctan \\frac{b}{a}, & (a>0, b<0) \\\\ \\frac{\\pi}{2}, & (a=0, b>0) \\\\ \\frac{3 \\pi}{2} . & (a=0, b<0)\\end{cases}\n$$\n(3)不能错误地理解为 4 (因为 $4 \\in(0,2 \\pi)$ ) 就是该复数的辐角主值, 因为 $\\sin 4<0$,已知的复数表达形式不是三角形式, 事实上,\n$$\n\\begin{aligned}\nz & =\\sin 4(\\cos 4+\\mathrm{isin} 4) \\\\\n& =-\\sin 4[\\cos (\\pi+4)+\\mathrm{i} \\sin (\\pi+4)] .\n\\end{aligned}\n$$\n此时, 不能错误地理解为 $4+\\pi$ 是辐角主值 (这是因为 $4+\\pi>2 \\pi$ ). 该复数的辐角主值是:\n$$\n(4+\\pi)-2 \\pi=4-\\pi .\n$$\n(4)首先把绝对值符号去掉, 并\"改造\"成复数的三角形式:\n$$\n\\begin{aligned}\nz & =|\\cos \\theta|+\\mathrm{i}|\\sin \\theta|==-\\cos \\theta+\\mathrm{i} \\sin \\theta \\\\\n& =\\cos (\\pi-\\theta)+\\mathrm{i} \\sin (\\pi-\\theta), \\theta \\in\\left(\\frac{5 \\pi}{2}, 3 \\pi\\right)\n\\end{aligned}\n$$\n因为 $(\\pi-\\theta) \\in\\left(-2 \\pi,-\\frac{3}{2} \\pi\\right)$, 所以 $\\arg z=(\\pi-\\theta)+2 \\pi=3 \\pi-\\theta$.",6    "remark": "",7    "figures": []8}