math-ai/BlueMO

1{2    "source_file": "./raw_volume-zh/volume7/exercise7.tex",3    "problem_type": "calculation",4    "problem": "问题8. 设 $a 、 b 、 c$ 为 $\\triangle A B C$ 的三条边, $a \\leqslant b \\leqslant c, R$ 和 $r$ 分别为 $\\triangle A B C$ 的外接圆半径和内切圆半径.\n令 $f=a+b-2 R-2 r$, 试用角 $C$ 的大小来判定 $f$ 的符号.",5    "solution": "解: 用 $A 、 B 、 C$ 分别表示 $\\triangle A B C$ 的三个内角.\n熟知 $a=2 R \\sin A, b= 2 R \\sin B, r=4 R \\sin \\frac{A}{2} \\cdot \\sin \\frac{B}{2} \\cdot \\sin \\frac{C}{2}$. 于是, $f=2 R(\\sin A+\\sin B-1- \\left.4 \\sin \\frac{A}{2} \\sin \\frac{B}{2} \\sin \\frac{C}{2}\\right)=2 R\\left[2 \\sin \\frac{B+A}{2} \\cdot \\cos \\frac{B-A}{2}-1+2\\left(\\cos \\frac{B+A}{2}-\\right.\\right. \\left.\\left.\\cos \\frac{B-A}{2}\\right) \\sin \\frac{C}{2}\\right]=4 R \\cos \\frac{B-A}{2}\\left(\\sin \\frac{B+A}{2}-\\sin \\frac{C}{2}\\right)-2 R+4 R \\cos \\frac{\\pi-C}{2} \\sin \\frac{C}{2}=4 R \\cos \\frac{B-A}{2}\\left(\\sin \\frac{\\pi-C}{2}-\\sin \\frac{C}{2}\\right)-2 R+4 R \\sin ^2 \\frac{C}{2}= 4 R \\cos \\frac{B-A}{2}\\left(\\cos \\frac{C}{2}-\\sin \\frac{C}{2}\\right)-2 R\\left(\\cos ^2 \\frac{C}{2}-\\sin ^2 \\frac{C}{2}\\right)=2 R\\left(\\cos \\frac{C}{2}-\\sin \\frac{C}{2}\\right) \\left(2 \\cos \\frac{B-A}{2}-\\cos \\frac{C}{2}-\\sin \\frac{C}{2}\\right)$.\n令 $A \\leqslant B \\leqslant C$, 所以 $0 \\leqslant B-A<B \\leqslant C$. 又 $O \\leqslant B-A<B+A$, 因此, $\\cos \\frac{B-A}{2}>\\cos \\frac{C}{2} \\cdot \\cos \\frac{B-A}{2}>\\cos \\frac{B+A}{2}=\\cos \\frac{\\pi-C}{2}=\\sin \\frac{C}{2}$. 所以 $2 \\cos \\frac{B-A}{2}>\\cos \\frac{C}{2}+\\sin \\frac{C}{2}$. 则 $f>0 \\Leftrightarrow \\cos \\frac{C}{2}>\\sin \\frac{C}{2} \\Leftrightarrow C<\\frac{\\pi}{2} ; f=0 \\Leftrightarrow \\cos \\frac{C}{2}=\\sin \\frac{C}{2} \\Leftrightarrow C=\\frac{\\pi}{2} ; f<0 \\Leftrightarrow \\cos \\frac{C}{2}<\\sin \\frac{C}{2} \\Leftrightarrow C>\\frac{\\pi}{2}$.",6    "remark": "",7    "figures": []8}