math-ai/BlueMO

1{2    "source_file": "./raw_volume-zh/volume7/exercise1.tex",3    "problem_type": "calculation",4    "problem": "问题11. 设 $D$ 是 $\\triangle A B C$ 的边 $B C$的中点, $\\triangle A B D$, $\\triangle A D C$ 的外心分别为 $E 、 F$, 直线 $B E 、 C F$ 交于点 $G$. 若 $B C=2 D G=2008, E F=1255$, 求 $\\triangle A E F$ 的面积.",5    "solution": "解: : 如图(<FilePath:./images/volume7/figures/fig-c1a11.png>), 连结 $D E 、 D F 、 A C$. 因为 $B C= 2 D G$, 所以, $\\triangle B G C$ 是直角三角形.\n故 $\\angle G B C+ \\angle G C B=90^{\\circ}$. 又 $E 、 F$ 是外心, 则 $\\angle G B C=90^{\\circ}- \\angle B A D, \\angle G C B=90^{\\circ}-\\angle D A C$. 故 $90^{\\circ}=\\angle G B C+ \\angle G C B=180^{\\circ}-\\angle B A D-\\angle C A D=180^{\\circ}- \\angle B A C \\Rightarrow \\angle B A C=90^{\\circ} \\Rightarrow \\triangle B A C$ 是直角三角形.\n因此, $D A=\\frac{1}{2} B C=1004$. 又 $A E=D E, A F=D F$, 则 $\\triangle A E F \\cong \\triangle D E F$, 且 $E F$ 垂直平分 $A D$. 故 $S_{\\triangle A E F}=\\frac{1}{2} S_{\\text {四边形 } A E D F}=\\frac{1}{2} A D \\cdot E F=\\frac{1}{4} \\times 1004 \\times 1255=315005$.",6    "remark": "",7    "figures": [8        "./images/volume7/figures/fig-c1a11.png"9    ]10}