math-ai/BlueMO

1{2    "source_file": "./raw_volume-zh/volume6/chapter2-7.tex",3    "problem_type": "calculation",4    "problem": "例4. 是否存在一个由正整数组成的数列 $\\left\\{a_n\\right\\}$, 使得每一个正整数都在该数列中恰好出现一次, 并且对任意 $k \\in \\mathbf{N}^*$, 都有 $k \\mid\\left(a_1+\\cdots+a_k\\right)$ ?",5    "solution": "解:存在这样的数列.\n我们采用递归方法来构造: 取 $a_1=1$, 现设 $a_1, a_2, \\cdots, a_m$ (两两不同) 已取定, 令 $t$ 为不在 $a_1, \\cdots, a_m$ 中出现的最小正整数.\n由于 $(m+1, m+2)=1$, 故利用中国剩余定理可知: 存在无穷多个正整数 $r$, 使得 (记 $s=a_1+\\cdots+a_m$ )\n$$\n\\left\\{\\begin{array}{l}\ns+r \\equiv 0(\\bmod m+1), \\\\\ns+r+t \\equiv 0(\\bmod m+2) .\n\\end{array}\\right.\n$$\n取这样的一个 $r$, 使得 $r>\\max \\left\\{a_1, \\cdots, a_m, t\\right\\}$, 令 $a_{m+1}=r, a_{m+2}=t$. 依此定义的数列即符合要求.\n说明利用递推方法来处理存在性问题本质上还是一种直接构造的技 巧.\n本题中定义的数列依次写出可以是 $1,3,2,10,4, \\cdots$, 每次增加两项的做法可确保不重复地遍经所有正整数.",6    "remark": "",7    "figures": []8}