math-ai/BlueMO

1{2    "source_file": "./raw_volume-zh/volume6/chapter1-7.tex",3    "problem_type": "calculation",4    "problem": "例1. 已知数列 $\\left\\{a_n\\right\\}$ 满足 $a_1=0, a_{n+1}=5 a_n+\\sqrt{24 a_n^2+1}, n=1,2, \\cdots$. 求此数列的通项.",5    "solution": "解:对递推式作变形, 得\n$$\n\\left(a_{n+1}-5 a_n\\right)^2=24 a_n^2+1,\n$$\n即有\n$$\na_{n+1}^2-10 a_n a_{n+1}+a_n^2=1 . \\label{eq1}\n$$\n上式中下标用 $n+1$ 代替 $n$, 得\n$$\na_{n+2}^2-10 a_{n+1} a_{n+2}+a_{n+1}^2=1 . \\label{eq2}\n$$\n对比式\\ref{eq1}与\\ref{eq2}可知, $a_n$ 与 $a_{n+2}$ 都是方程\n$$\nx^2-10 a_{n+1} x+a_{n+1}^2-1=0 . \\label{eq3}\n$$\n的根, 而由递推式可知 $\\left\\{a_n\\right\\}$ 是递增数列, 故 $a_n$ 与 $a_{n+2}$ 不同, 从而对式\\ref{eq3}用韦达定理, 得\n$$\na_{n+2}+a_n=10 a_{n+1},\n$$\n即 $a_{n+2}=10 a_{n+1}-a_n, n=1,2, \\cdots$.\n此题本质上是一个二阶齐次线性递推数列, 下面我们用两种方法来求数列的通项.\n方法一其特征方程为\n$$\n\\lambda^2=10 \\lambda-1,\n$$\n它的两个根为 $\\lambda_{1,2}=5 \\pm 2 \\sqrt{6}$. 于是, 可设\n$$\na_n=A \\cdot(5+2 \\sqrt{6})^n+B \\cdot(5-2 \\sqrt{6})^n .\n$$\n由初始条件 $a_1=0$ 知 $a_2=1$,\n$$\n\\left\\{\\begin{array}{l}\n(5+2 \\sqrt{6}) A+(5-2 \\sqrt{6}) B=0, \\\\\n(5+2 \\sqrt{6})^2 A+(5-2 \\sqrt{6})^2 B=1 .\n\\end{array}\\right.\n$$\n解得 $A=\\frac{5-2 \\sqrt{6}}{4 \\sqrt{6}}, B=\\frac{-5-2 \\sqrt{6}}{4 \\sqrt{6}}$. 所以\n$$\na_n=\\frac{1}{4 \\sqrt{6}} .\\left((5+2 \\sqrt{6})^{n-1}-(5-2 \\sqrt{6})^{n-1}\\right) .\n$$\n方法二利用母函数方法, 为方便起见, 利用 $a_1=0, a_2=1$ 及递推式补充定义 $a_0=-1$. 则 $\\left\\{a_n\\right\\}(n=0,1,2, \\cdots)$ 的母函数 $f(x)$ 满足\n$$\n\\begin{aligned}\nf(x) & =\\sum_{n=0}^{+\\infty} a_n x^n=-1+\\sum_{n=2}^{+\\infty} a_n x^n \\\\\n& =-1+10 \\sum_{n=2}^{+\\infty} a_{n-1} x^n-\\sum_{n=2}^{+\\infty} a_{n-2} x^n \\\\\n& =-1+10 x \\sum_{n=1}^{+\\infty} a_n x^n-x^2 \\sum_{n=0}^{+\\infty} a_n x^n \\\\\n& =-1+10 x(f(x)+1)-x^2 f(x) .\n\\end{aligned}\n$$\n解得 $f(x)=\\frac{10 x-1}{x^2-10 x+1}$.\n下面设 $f(x)=\\frac{A}{1-(5+2 \\sqrt{6}) x}+\\frac{B}{1-(5-2 \\sqrt{6}) x}$ (即将 $f(x)$ 写成部分分式的形式), 则应有\n$$\n\\left\\{\\begin{array}{l}\n(5-2 \\sqrt{6}) A+(5+2 \\sqrt{6}) B=-10, \\\\\nA+B=-1 .\n\\end{array}\\right.\n$$\n解得 $B=\\frac{1}{4 \\sqrt{6}}(-5-2 \\sqrt{6}), A=\\frac{1}{4 \\sqrt{6}}(5-2 \\sqrt{6})$.\n现在将 $f(x)$ 展开成形式级数, 知\n$$\n\\begin{aligned}\nf(x) & =A \\sum_{n=0}^{+\\infty}(5+2 \\sqrt{6})^n x^n+B \\sum_{n=0}^{+\\infty}(5-2 \\sqrt{6})^n x^n . \\\\\n& =\\sum_{n=0}^{+\\infty}\\left(A(5+2 \\sqrt{6})^n+B(5-2 \\sqrt{6})^n\\right) x^n .\n\\end{aligned}\n$$\n所以 $a_n=A(5+2 \\sqrt{6})^n+B(5-2 \\sqrt{6})^n=-\\frac{1}{4 \\sqrt{6}}\\left((5+2 \\sqrt{6})^{n-1}-(5-2 \\sqrt{6})^{n-1}\\right)$.\n说明此例展示了利用母函数方法求数列通项的基本步骤: 利用递推关系求出母函数 $f(x)$, 然后将 $f(x)$ 展开成级数形式, 由对应项系数相等得出通项公式.",6    "remark": "",7    "figures": []8}