math-ai/BlueMO

1{2    "source_file": "./raw_volume-zh/volume6/chapter1-5.tex",3    "problem_type": "calculation",4    "problem": "例2. 已知关于 $x$ 的方程\n$$\n(2 a-1) \\sin x+(2-a) \\sin 2 x=\\sin 3 x\n$$\n的非负实数解从小到大构成一个无穷等差数列.\n求实数 $a$ 的取值范围.",5    "solution": "解:方程变形为\n$$\n\\begin{aligned}\n& 2 a \\sin x-a \\sin 2 x+2 \\sin 2 x-\\sin x-\\sin 3 x=0 \\\\\n\\Leftrightarrow & 2 a \\sin x(1-\\cos x)+2 \\sin 2 x-2 \\sin 2 x \\cos x=0 \\\\\n\\Leftrightarrow & (2 a \\sin x-2 \\sin 2 x)(1-\\cos x)=0 .\n\\end{aligned}\n$$\n于是 $1-\\cos x=0$ 或者 $\\sin 2 x=a \\sin x$.\n前者的所有非负实数解为 $x=2 k_1 \\pi, k_1 \\in \\mathbf{N}$; 对于后者, 方程化为 $\\sin x=0$ 或 $\\cos x=\\frac{a}{2}$, 其中 $\\sin x=0$ 的非负实数解为 $x=k_2 \\pi, k_2 \\in \\mathbf{N}$, 而 $\\cos x=\\frac{a}{2}$ 仅当 $|a| \\leqslant 2$ 时有解, 此时非负实数解为 $x=2 k_3 \\pi+\\arccos \\frac{a}{2}$ 或 $x=2 k_4 \\pi+\\pi+\\arccos \\frac{a}{2}, k_3 、 k_4 \\in \\mathbf{N}$.\n综上可知, 当 $|a| \\geqslant 2$ 时, 方程的非负实数解为 $x=k \\pi, k \\in \\mathbf{N}$, 它们成等差数列; 当 $|a|<2$ 时, 方程的非负实数解为 $x=k \\pi, k \\in \\mathbf{N}$, 或者 $x= 2 k_3 \\pi+\\arccos \\frac{a}{2}$ 或 $x=2 k_4 \\pi+\\pi+\\arccos \\frac{a}{2}$, 当且仅当 $\\arccos \\frac{a}{2}=\\frac{\\pi}{2}$, 即 $a=$ 0 时, 方程的所有非负实数解从小到大构成等差数列.\n所以,满足条件的 $a \\in(-\\infty,-2] \\cup\\{0\\} \\cup[2,+\\infty)$.",6    "remark": "",7    "figures": []8}