math-ai/BlueMO

1{2    "source_file": "./raw_volume-zh/volume6/chapter1-3.tex",3    "problem_type": "calculation",4    "problem": "例7. 求所有的整数 $n>1$, 使得它的任何大于 1 的因数可以表示为 $a^r+$ 1 的形式, 这里 $a 、 r \\in \\mathbf{N}^*, r \\geqslant 2$.",5    "solution": "解:设 $S$ 是所有满足条件的正整数组成的集合, 则对任意 $n \\in S, n>1$,\n$n$ 的每个大于 1 的因数都具有 $a^r+1$ 的形式, 这里 $a 、 r \\in \\mathbf{N}^*, r>1$.\n由上可知, 对任意 $n \\in S(n>2)$, 存在 $a 、 r \\in \\mathbf{N}^*, a 、 r>1$, 使得 $n= a^r+1$. 我们设 $n$ 的这种表示中 $a$ 是最小的, 即不存在 $b 、 t \\in \\mathbf{N}^*, t>1$, 使得 $a=b^t$. 这时, $r$ 必为偶数 (若否, 设 $r$ 为奇数,则 $(a+1) \\mid n$,于是, $a+1$ 可表示为 $b^t+1$ 的形式,导致 $a=b^t$, 与 $a$ 的最小矛盾). 所以, $S$ 中的每个大于 1 的元素 $n$ 都可表示为 $n=x^2+1, x \\in \\mathbf{N}^*$ 的形式.\n下面来求 $S$ 的每个元素 $n$.\n如果 $n$ 为素数,那么 $n$ 是具有 $x^2+1$ 形式的素数.\n如果 $n$ 为合数, 分两种情况讨论:\n(1) 若 $n$ 为奇合数,则存在奇素数 $p 、 q$, 使得 $p 、 q 、 p q \\in S$, 此时, 应存在 $a 、 b 、 c \\in \\mathbf{N}^*$, 满足\n$$\np=4 a^2+1, q=4 b^2+1, p q=4 c^2+1 .\n$$\n这里还可设 $a \\leqslant b<c$. 于是 $p q-q=4\\left(c^2-b^2\\right)$, 故 $q \\mid 4(c-b)(c+b)$, 由 $q$ 为奇素数, 知 $q \\mid c-b$ 或 $q \\mid c+b$, 总有 $q<2 c$, 导致 $p q<4 c^2<4 c^2+1=p q$, 矛盾.\n(2) 若 $n$ 为偶合数,注意到 $2^2 \\notin S$, 结合前面的讨论, 可知 $n$ 只能是 $2 q$ 的形式, 这里 $q$ 为奇素数.\n此时 $q 、 2 q \\in S$, 于是, 存在 $a 、 b \\in \\mathbf{N}^*$, 使得\n$$\nq=4 a^2+1,2 q=b^2+1 .\n$$\n得 $q=b^2-4 a^2=(b-2 a)(b+2 a)$, 所以 $b-2 a=1, b+2 a=q$. 进而 $q- 1=4 a$, 又 $q-1=4 a^2$, 故 $4 a=4 a^2$, 得 $a=1, b=3, q=5, n=10$. 即 $S$ 中只有一个偶合数 10 .\n综上可知,任意 $n \\in S, n$ 是形如 $x^2+1$ 的素数或 10 ,而这样的 $n$ 具有题中的性质是显然的, 所以 $S=\\left\\{x^2+1 \\mid x \\in \\mathbf{N}^*, x^2+1\\right.$ 为素数 $\\} \\cup\\{10\\}$.",6    "remark": "",7    "figures": []8}