math-ai/BlueMO

1{2    "source_file": "./raw_volume-zh/volume5/exercise9.tex",3    "problem_type": "calculation",4    "problem": "问题4. 设 $x_1, x_2, \\cdots, x_n$ 是非负实数,且满足:\n$$\n\\sum_{i=1}^n x_i^2+\\sum_{1 \\leqslant i<j \\leqslant n}\\left(x_i x_j\\right)^2=\\frac{n(n+1)}{2} .\n$$\n(1) 求 $\\sum_{i=1}^n x_i$ 的最大值;\n(2)求所有正整数 $n$,使得 $\\sum_{i=1}^n x_i \\geqslant \\sqrt{\\frac{n(n+1)}{2}}$.",5    "solution": "(1) $\\left(\\sum_{i=1}^n x_i\\right)^2=\\sum_{i=1}^n x_i^2+2 \\sum_{1 \\leqslant i<j \\leqslant n} x_i x_j=\\sum_{i=1}^n x_i^2+\\sum_{1 \\leqslant i<j \\leqslant n}\\left(x_i x_j\\right)^2+ \\sum_{1 \\leqslant i<j \\leqslant n}\\left(2 x_i x_j-\\left(x_i x_j\\right)^2\\right) \\leqslant \\frac{n(n+1)}{2}+\\sum_{1 \\leqslant i<j \\leqslant n} 1=n^2$, 故 $\\sum_{i=1}^n x_i \\leqslant n$, 等号在 $x_1=x_2=\\cdots=x_n=1$ 时取到.\n(2)当 $n=1$ 时, $x_1=1$, 满足 $\\sum_{i=1}^n x_i \\geqslant \\sqrt{\\frac{n(n+1)}{2}}$.\n当 $n=2$ 时, 由条件知 $x_1^2+x_2^2+\\left(x_1 x_2\\right)^2=3$, 于是 $x_1 x_2 \\leqslant \\sqrt{3}$, 所以\n$$\n\\left(x_1+x_2\\right)^2=3-x_1^2 x_2^2+2 x_1 x_2=3+x_1 x_2\\left(2-x_1 x_2\\right) \\geqslant 3,\n$$\n故 $x_1+x_2 \\geqslant \\sqrt{3}$, 等号在 $x_1=\\sqrt{3}, x_2=0$ 时取到.\n当 $n=3$ 时, 由题设, $x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_1^2 x_2^2+x_2^2 x_3^2+x_3^2 x_1^2=6$.\n若 $\\max \\left\\{x_1 x_2, x_2 x_3, x_3 x_1\\right\\} \\leqslant 2$, 则\n$$\n\\begin{aligned}\n\\left(x_1+x_2+x_3\\right)^2 & =6+x_1 x_2\\left(2-x_1 x_2\\right)+x_2 x_3\\left(2-x_2 x_3\\right)+x_3 x_1\\left(2-x_3 x_1\\right) \\\\\n& \\geqslant 6 .\n\\end{aligned}\n$$\n若 $\\max \\left\\{x_1 x_2, x_2 x_3, x_3 x_1\\right\\}>2$, 不妨设 $x_1 x_2>2$, 则\n$$\nx_1+x_2+x_3 \\geqslant x_1+x_2 \\geqslant 2 \\sqrt{x_1 x_2}>2 \\sqrt{2}>\\sqrt{6} .\n$$\n当 $n \\geqslant 4$ 时,令 $x_1=x_2=x, x_3=x_4=\\cdots=x_n=0$.\n则 $2 x^2+x^4=\\frac{n(n+1)}{2}$, 故 $x= \\pm \\sqrt{\\frac{\\sqrt{2 n(n+1)+4}-2}{2}}$ (负的舍去).\n此时, $\\sum_{i=1}^n x_i=\\sqrt{2 \\sqrt{2 n(n+1)+4}-4}<\\sqrt{\\frac{1}{2} n(n+1)}$.\n综上所述, 所求的正整数 $n=1,2$ 或 3 .",6    "remark": "",7    "figures": []8}