math-ai/BlueMO

1{2    "source_file": "./raw_volume-zh/volume5/exercise2.tex",3    "problem_type": "calculation",4    "problem": "问题4. 求所有的正整数 $a_1, a_2, \\cdots, a_n$, 使得\n$$\n\\frac{99}{100}=\\frac{a_0}{a_1}+\\frac{a_1}{a_2}+\\cdots+\\frac{a_{n-1}}{a_n}\n$$\n其中 $a_0=1$, 且 $\\left(a_{k+1}-1\\right) a_{k-1} \\geqslant a_k^2-1(k=1,2, \\cdots, n-1)$.",5    "solution": "显然 $a_k>a_{k-1}$, 且 $a_k \\geqslant 2 . k=1,2, \\cdots, n-1$.\n由条件可得\n$$\n\\frac{a_{k-1}}{a_k} \\leqslant \\frac{a_{k-1}}{a_k-1}-\\frac{a_k}{a_{k+1}-1} .\n$$\n上面不等式对 $k=i+1, i+2, \\cdots, n$ 求和, 得\n$$\n\\frac{a_i}{a_{i+1}}+\\frac{a_{i+1}}{a_{i+2}}+\\cdots+\\frac{a_{n-1}}{a_n}<\\frac{a_i}{a_{i+1}-1} .\n$$\n当 $i=0$ 时, 由题设及上式, $\\frac{1}{a_1} \\leqslant \\frac{99}{100}<\\frac{1}{a_1-1}$. 则\n$$\n\\frac{100}{99} \\leqslant a_1<\\frac{100}{99}+1 \\text {, 故 } a_1=2 \\text {. }\n$$\n当 $i=1 、 2 、 3$ 时, 同样可求得 $a_2=5, a_3=56, a_4=78400$.\n所以 $\\frac{1}{a_5} \\leqslant \\frac{1}{a_4}\\left(\\frac{99}{100}-\\frac{1}{2}-\\frac{2}{5}-\\frac{5}{56}-\\frac{56}{25-56^2}\\right)=0$, 故没有 $a_5$, 因此, 所求的正整数 $a_1=2, a_2=5, a_3=56, a_4=78400$.",6    "remark": "",7    "figures": []8}