math-ai/BlueMO

1{2    "source_file": "./raw_volume-zh/volume5/chapter9.tex",3    "problem_type": "calculation",4    "problem": "例7. (1) 若 $x 、 y 、 z$ 为不全相等的正整数,求 $(x+y+z)^3-27 x y z$ 的最小值;\n(2) 若 $x 、 y 、 z$ 为全不相等的正整数,求 $(x+y+z)^3-27 x y z$ 的最小值.",5    "solution": "解:(1)\n$$\n\\begin{aligned}\n& (x+y+z)^3-27 x y z \\\\\n= & x^3+y^3+z^3+3\\left(x^2 y+y^2 z+z^2 x\\right)+3\\left(x y^2+y z^2+z x^2\\right)+6 x y z \\\\\n& -27 x y z \\\\\n= & (x+y+z)\\left(x^2+y^2+z^2-x y-y z-z x\\right)+3\\left(x^2 y+y^2 z+\\right.\n\\end{aligned}\n$$\n$$\n\\begin{aligned}\n& \\left.z^2 x+x y^2+y z^2+z x^2-6 x y z\\right) \\\\\n= & \\frac{x+y+z}{2}\\left[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\\right]+3\\left[x(y-z)^2+\\right. \\\\\n& \\left.y(z-x)^2+z(x-y)^2\\right] .\n\\end{aligned}\n$$\n不妨设 $x \\geqslant y \\geqslant z$, 则 $z \\geqslant 1, y \\geqslant 1, x \\geqslant 2$.\n于是\n$$\n\\begin{aligned}\n& (x+y+z)^3-27 x y z \\\\\n\\geqslant & \\frac{1+1+2}{2} \\cdot\\left[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\\right]+3\\left[(y-z)^2+\\right. \\\\\n& \\left.(z-x)^2+(x-y)^2\\right] \\\\\n= & 5 \\cdot\\left[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\\right] \\\\\n\\geqslant & 10 .\n\\end{aligned}\n$$\n因此 $(x+y+z)^3-27 x y z \\geqslant 10$, 且等号当 $(x, y, z)=(2,1,1)$ 时取到.\n(2) 不妨设 $x>y>z$, 则 $z \\geqslant 1, y \\geqslant 2, x \\geqslant 3$.\n由第(1)小题,\n$$\n\\begin{aligned}\n(x+y+z)^3-27 x y z \\geqslant & \\frac{6}{2} \\cdot\\left[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\\right]+3 \\cdot[3(y \\\\\n& \\left.-z)^2+2(z-x)^2+(x-y)^2\\right] \\\\\n\\geqslant & 3 \\cdot\\left(1^2+1^2+2^2\\right)+3 \\cdot\\left(3 \\cdot 1^2+2 \\cdot 2^2+1^2\\right) \\\\\n= & 54 .\n\\end{aligned}\n$$\n因此 $(x+y+z)^3-27 x y z \\geqslant 54$, 且等号当 $(x, y, z)=(3,2,1)$ 时取到.",6    "remark": "说明第(1) 小题等价于下列命题:\n对于不全相等的正整数 $a 、 b 、 c$, 有\n$$\n\\frac{a+b+c}{3} \\geqslant \\sqrt[3]{a b c+\\frac{10}{27}} . \\label{eq1}\n$$\n当然, 式\\ref{eq1}也可以用以下方法(增量代换)来证明:\n证明不妨设 $1 \\leqslant a \\leqslant b \\leqslant c, b=a+x, c=a+y$. 则 $x, y \\geqslant 0$, 且 $x$ 、 $y$ 不全为 $0(x \\leqslant y)$.\n此时, \\ref{eq1}式等价于证明:\n$$\n9 a\\left(x^2-x y+y^2\\right)+(x+y)^3 \\geqslant 10 .\n$$\n由于 $a \\geqslant 1, x^2-x y+y^2 \\geqslant 1, x+y \\geqslant 1$, 上式显然成立, 并且等号当 $a=1, x^2-x y+y^2=1, x+y=1$, 即 $(a, x, y)=(1,0,1)$ 时取到.",7    "figures": []8}