math-ai/BlueMO

1{2    "source_file": "./raw_volume-zh/volume5/chapter8.tex",3    "problem_type": "calculation",4    "problem": "例1. 求三位数 (十进制下) 与其各位数字之和的比的最小值.",5    "solution": "解:设此三位数为 $100 x+10 y+z$, 其中 $x 、 y 、 z$ 为整数, 且 $1 \\leqslant x \\leqslant 9$, $0 \\leqslant y, z \\leqslant 9$. 于是, 比值为\n$$\nf(x, y, z)=\\frac{100 x+10 y+z}{x+y+z}=1+\\frac{99 x+9 y}{x+y+z} . \\label{(1)}\n$$\n在(1)右端表达式中, 只有分母含有 $z$, 故当 $x 、 y$ 固定时, $f(x, y, z)$ 当且仅当 $z=9$ 时取最小值.\n同理可得\n$$\n\\begin{aligned}\nf(x, y, z) & \\geqslant 1+\\frac{99 x+9 y}{9+x+y}=10+\\frac{90 x-81}{9+x+y} \\\\\n& \\geqslant 10+\\frac{90 x-81}{18+x}=100-\\frac{1701}{18+x}\n\\end{aligned}\n$$\n$$\n\\geqslant 100-\\frac{1701}{18+1}=\\frac{199}{19}\n$$\n故\n$$\nf_{\\min }(x, y, z)=f(1,9,9)=\\frac{199}{19} \\text {. }\n$$",6    "remark": "",7    "figures": []8}