math-ai/BlueMO

1{2    "source_file": "./raw_volume-zh/volume5/chapter1.tex",3    "problem_type": "calculation",4    "problem": "例19. 求函数 $f_n\\left(x_1, x_2, \\cdots, x_n\\right)=\\frac{x_1}{\\left(1+x_1+\\cdots+x_n\\right)^2}+ \\frac{x_2}{\\left.1+x_2+\\cdots+x_n\\right)^2}+\\cdots+\\frac{x_n}{\\left(1+x_n\\right)^2}$ 的最大值 $m_n$ (其中 $x_i \\geqslant 0$ ). 用 $m_{n-1}$ 表宗 $m_n$, 并求 $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} m_n$.",5    "solution": "分析:$f_n$ 的每一项分母都很复杂, 自然应先作代换将其简化.\n解令 $a_i=\\frac{1}{1+x_i+\\cdots+x_n}, 1 \\leqslant i \\leqslant n$, 并约定 $a_{n+1}=1$. 则\n$$\n\\begin{gathered}\n1+x_i+x_{i+1}+\\cdots+x_n=\\frac{1}{a_i} . \\\\\n1+x_{i+1}+x_{i+2}+\\cdots+x_n=\\frac{1}{a_{i+1}}, \\\\\nx_i=\\frac{1}{a_i}-\\frac{1}{a_{i+1}} . \\\\\nf_n=\\sum_{i=1}^n a_i^2\\left(\\frac{1}{a_i}-\\frac{1}{a_{i+1}}\\right)=\\sum_{i=1}^n\\left(a_i-\\frac{a_i^2}{a_{i+1}}\\right) \\\\\n=\\left(a_1+a_2+\\cdots+a_n\\right)-\\left(\\frac{a_1^2}{a_2}+\\frac{a_2^2}{a_3}+\\cdots+\\frac{a_n^2}{1}\\right) .\n\\end{gathered}\n$$\n因此\n$$\n\\begin{aligned}\nf_n & =\\sum_{i=1}^n a_i^2\\left(\\frac{1}{a_i}-\\frac{1}{a_{i+1}}\\right)=\\sum_{i=1}^n\\left(a_i-\\frac{a_i^2}{a_{i+1}}\\right) \\\\\n& =\\left(a_1+a_2+\\cdots+a_n\\right)-\\left(\\frac{a_1^2}{a_2}+\\frac{a_2^2}{a_3}+\\cdots+\\frac{a_n^2}{1}\\right) .\n\\end{aligned}\n$$\n为求 $f_n$ 之最大值, 构造下列不等式:\n$$\n\\left\\{\\begin{array}{l}\n\\frac{a_1^2}{a_2}+\\lambda_1^2 a_2 \\geqslant 2 \\lambda_1 a_1, \\\\\n\\frac{a_2^2}{a_3}+\\lambda_2^2 a_3 \\geqslant 2 \\lambda_2 a_2, \\\\\n\\cdots \\cdots \\cdots \\cdots \\cdots \\cdots \\cdots \\cdots . . . \\cdots \\cdots \\cdots . . . \\\\\n\\frac{a_n^2}{1}+\\lambda_n^2 \\geqslant 2 \\lambda_n a_n .\n\\end{array}\\right. \\label{(1)}\n$$\n其中 $\\lambda_1, \\lambda_2, \\cdots, \\lambda_n$ 为参数, $\\lambda_i \\geqslant 0$.\n将(1)中 $n$ 个不等式相加, 只须使\n$$\n\\left\\{\\begin{array}{l}\n2 \\lambda_1=1 \\\\\n2 \\lambda_2=1+\\lambda_1^2 \\\\\n\\cdots \\cdots \\cdots \\cdots \\cdots \\cdots \\\\\n2 \\lambda_n=1+\\lambda_{n-1}^2\n\\end{array}\\right. \\label{(2)}\n$$\n即有 $f_n \\leqslant \\lambda_n^2$.\n注意到 $\\lambda_i \\geqslant \\lambda_{i-1}$, 且 $0 \\leqslant \\lambda_i \\leqslant 1$, 故 $\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\lambda_n$ 存在, 易见它的值为 1 .",6    "remark": "",7    "figures": []8}