math-ai/BlueMO

1{2    "source_file": "./raw_volume-zh/volume4/chapter4-5.tex",3    "problem_type": "calculation",4    "problem": "例2. 设 $p, q \\in \\mathbf{R}^{+}, x \\in\\left(0, \\frac{\\pi}{2}\\right)$, 试求\n$$\n\\frac{p}{\\sqrt{\\sin x}}+\\frac{q}{\\sqrt{\\cos x}}\n$$\n的最小值.",5    "solution": "解:由柯西不等式, 得\n$$\n(\\sqrt{p m}+\\sqrt{q m})^2 \\leqslant\\left(\\frac{p}{\\sqrt{\\sin x}}+\\frac{q}{\\sqrt{\\cos x}}\\right)(m \\sqrt{\\sin x}+n \\sqrt{\\cos x}),\n$$\n当且仅当 $\\frac{\\frac{p}{\\sqrt{\\sin x}}}{m \\sqrt{\\sin x}}=\\frac{\\frac{q}{\\sqrt{\\cos x}}}{n \\sqrt{\\cos x}}$ 时, 等号成立.\n故\n$$\n\\tan x=\\frac{n p}{m q} .\n$$\n又 $(m \\sqrt{\\sin x}+n \\sqrt{\\cos x})^2==\\left(\\frac{m}{a} \\cdot a \\sqrt{\\sin x}+\\frac{n}{b} \\cdot b \\sqrt{\\cos x}\\right)^2$\n$$\n\\begin{aligned}\n& \\leqslant\\left(\\frac{m^2}{a^2}+\\frac{n^2}{b^2}\\right)\\left(a^2 \\sin x+b^2 \\cos x\\right) \\\\\n& \\leqslant\\left(\\frac{m^2}{a^2}+\\frac{n^2}{b^2}\\right) \\sqrt{a^4+b^4},\n\\end{aligned}\n$$\n当且仅当 $\\tan x=\\frac{a^2}{b^2}, \\frac{a^2 \\sin x}{\\frac{m^2}{a^2}}=\\frac{b^2 \\cos x}{\\frac{n^2}{b^2}}$ 时, 即 $\\tan x=\\frac{b^4 m^2}{a^4 n^2}=\\frac{a^2}{b^2}$ 时, 等号成立.\n故\n$$\n\\frac{m}{n}=\\frac{a^3}{b^3}, \\tan x=\\left(\\frac{m}{n}\\right)^{\\frac{2}{3}},\n$$\n且 $\\quad m \\sqrt{\\sin x}+n \\sqrt{\\cos x} \\leqslant\\left(m^{\\frac{4}{3}}+n^{\\frac{4}{3}}\\right)^{\\frac{3}{4}}$,\n从而\n$$\n\\begin{aligned}\n& \\left(\\frac{m}{n}\\right)^{\\frac{2}{3}}=\\frac{n p}{m q}, \\\\\n& \\frac{m}{n}=\\left(\\frac{p}{q}\\right)^{\\frac{3}{5}} .\n\\end{aligned}\n$$\n令 $m=p^{\\frac{3}{5}}, n=q^{\\frac{3}{5}}$, 得\n$$\n\\frac{p}{\\sqrt{\\sin x}}+\\frac{q}{\\sqrt{\\cos x}} \\geqslant \\frac{(\\sqrt{p m}+\\sqrt{n q})^2}{\\left(m^{\\frac{4}{3}}+n^{\\frac{4}{3}}\\right)^{\\frac{3}{4}}}=\\left(p^{\\frac{4}{5}}+q^{\\frac{4}{5}}\\right)^{\\frac{5}{4}},\n$$\n当且仅当 $\\tan x=\\left(\\frac{m}{n}\\right)^{\\frac{2}{3}}=\\left[\\left(\\frac{p}{q}\\right)^{\\frac{3}{5}}\\right]^{\\frac{2}{3}}=\\left(\\frac{p}{q}\\right)^{\\frac{2}{5}}$ 时, 等号成立.",6    "remark": "注:这里, 在两次利用柯西不等式时, 引进了参数 $n 、 m 、 a 、 b$.",7    "figures": []8}