math-ai/BlueMO

1{2    "source_file": "./raw_volume-zh/volume4/chapter2-5.tex",3    "problem_type": "calculation",4    "problem": "例3. 已知 $\\alpha, \\beta, \\gamma>0$, 且\n$$\n\\frac{1}{\\alpha^2+1}+\\frac{1}{\\beta^2+1}+\\frac{1}{\\gamma^2+1}=1,\n$$\n求函数 $u=\\frac{\\alpha x y+\\beta y z+\\gamma z x}{x^2+y^2+z^2}$ 的最大值.",5    "solution": "解:对于任意正实数 $a, b, c$, 有\n$$\n\\begin{aligned}\n& x^2+y^2+z^2 \\\\\n= & \\frac{b}{b+c} x^2+\\frac{c}{b+c} x^2+\\frac{a}{a+c} y^2+\\frac{c}{a+c} y^2+\\frac{a}{a+b} z^2+\\frac{b}{a+b} z^2 \\\\\n= & \\left(\\frac{b}{b+c} x^2+\\frac{a}{a+c} y^2\\right)+\\left(\\frac{c}{c+a} y^2+\\frac{b}{b+a} z^2\\right)+\\left(\\frac{a}{a+b} z^2+\\frac{c}{c+b} x^2\\right) \\\\\n\\geqslant & 2\\left(\\sqrt{\\frac{a b}{(a+c)(b+c)}} x y+\\sqrt{\\frac{b c}{(b+a)(c+a)}} y z+\\sqrt{\\frac{c a}{(c+b)(a+b)}} z x\\right) \\\\\n= & 2 \\sqrt{\\frac{a b c}{(a+b)(b+c)(c+a)}}\\left(\\sqrt{\\frac{a+b}{c}} x y+\\sqrt{\\frac{b+c}{a}} y z+\\sqrt{\\frac{c+a}{b}} z x\\right) \\\\\n& \\left\\{\\begin{array}{l}\n\\sqrt{\\frac{b}{b+c}} x=\\sqrt{\\frac{a}{a+c}} y, \\\\\n\\sqrt{\\frac{c}{c+a}} y=\\sqrt{\\frac{b}{b+a}} z, \\\\\n\\sqrt{\\frac{a}{a+b}} z=\\sqrt{\\frac{c}{c+b}} x,\n\\end{array}\\right.\n\\end{aligned}\n$$\n当且仅当\n$$\n\\left\\{\\begin{array}{l}\n\\sqrt{\\frac{b}{b+c} x}=\\sqrt{\\frac{a}{a+c} y,} \\\\\n\\sqrt{\\frac{c}{c+a} y}=\\sqrt{\\frac{b}{b+a}} z, \\\\\n\\sqrt{\\frac{a}{a+b} z}=\\sqrt{\\frac{c}{c+b}} x,\n\\end{array}\\right.\n$$\n亦即 $\\frac{x}{\\sqrt{a b+a c}}=\\frac{y}{\\sqrt{b a+b c}}=\\frac{z}{\\sqrt{c a+c b}}$ 时, 上式取等号.\n$$\n\\begin{array}{r}\n\\text { 令 } \\alpha=\\sqrt{\\frac{a+b}{c}}, \\beta=\\sqrt{\\frac{b+c}{a}}, \\gamma=\\sqrt{\\frac{c+a}{b}}, \\text { 则 } \\\\\n\\frac{1}{\\alpha^2+1}+\\frac{1}{\\beta^2+1}+\\frac{1}{\\gamma^2+1}=1,\n\\end{array}\n$$\n且\n$$\n\\begin{gathered}\nx^2+y^2+z^2 \\geqslant \\frac{2}{\\alpha \\beta \\gamma}(\\alpha x y+\\beta y z+\\gamma z x), \\\\\n\\frac{\\alpha x y+\\beta y z+\\gamma z x}{x^2+y^2+z^2} \\leqslant \\frac{\\alpha \\beta \\gamma}{2},\n\\end{gathered}\n$$\n所以, $u$ 的最大值为 $\\frac{\\alpha \\beta \\gamma}{2}$.",6    "remark": "注:(1) 如果 $\\frac{1}{\\alpha^2+k}+\\frac{1}{\\beta^2+k}+\\frac{1}{\\gamma^2+k}=\\frac{1}{k}(\\alpha, \\beta, \\gamma, k>0)$, 那么 $u= \\frac{\\alpha x y+\\beta y z+\\gamma z x}{x^2+y^2+z^2}$ 有最大值 $\\frac{\\alpha \\beta y}{2 k}$.\n这是因为\n$$\n\\begin{gathered}\n\\frac{1}{\\left(\\frac{\\alpha}{\\sqrt{k}}\\right)^2+1}+\\frac{1}{\\left(\\frac{\\beta}{\\sqrt{k}}\\right)^2+1}+\\frac{1}{\\left(\\frac{\\gamma}{\\sqrt{k}}\\right)^2+1}=1, \\\\\n\\frac{\\frac{\\alpha}{\\sqrt{k}} x y+\\frac{\\beta}{\\sqrt{k}} y z+\\frac{\\gamma}{\\sqrt{k}} z x}{x^2+y^2+z^2} \\leqslant \\frac{\\frac{\\alpha}{\\sqrt{k}} \\cdot \\frac{\\beta}{\\sqrt{k}} \\cdot \\frac{\\gamma}{\\sqrt{k}}}{2}, \\\\\n\\frac{\\alpha x y+\\beta y z+\\gamma z x}{x^2+y^2+z^2} \\leqslant \\frac{\\alpha \\beta \\gamma}{2 k} .\n\\end{gathered}\n$$\n化简整理后 $\\quad \\frac{\\alpha x y+\\beta y z+\\gamma z x}{x^2+y^2+z^2} \\leqslant \\frac{\\alpha \\beta \\gamma}{2 k}$.\n(2) 若 $\\frac{k_1 k_2}{\\alpha^2+k_1 k_2 k}+\\frac{k_2 k_3}{\\beta^2+k_2 k_3 k}+\\frac{k_1 k_3}{\\gamma^2+k_1 k_3 k}=\\frac{1}{k}\\left(\\alpha, \\beta, \\gamma, k_1, k_2, k_3\\right.$, $k>0)$, 则函数 $\\frac{\\alpha x y+\\beta y z+\\gamma z x}{x^2+y^2+z^2}$ 有最大值 $\\frac{\\alpha \\beta \\gamma}{2 k_1 k_2 k_3 k}$.\n事实上, 只须令 $x^{\\prime}=\\sqrt{k_1} x, y^{\\prime}=\\sqrt{k_2} y, z^{\\prime}=\\sqrt{k_3} z, \\alpha^{\\prime}=\\frac{\\alpha}{\\sqrt{k_1 k_2}}$, $\\beta^{\\prime}=\\frac{\\beta}{\\sqrt{k_2 k_3}}, \\gamma^{\\prime}=\\frac{\\gamma}{\\sqrt{k_1 k_3}}$ 即可化归为 (1) 的情形.",7    "figures": []8}