math-ai/BlueMO

1{2    "source_file": "./raw_volume-zh/volume3/exercise6.tex",3    "problem_type": "calculation",4    "problem": "问题17. 在体育比赛中,有一种\"铁人\"项目的比赛,运动员通过跑步、划船、骑自行车等项目的比赛, 以累计成绩决定胜负.\n在这类比赛中常遇到如下情况: 运动员从 $A$ 地出发跑步到河岸渡口 $B$ 处,然后划船到河对岸 $P$ 处.\n上岸后沿河岸骑自行车到达河岸边的终点 $C$ 处.\n如果某两名运动员的跑步、划船、骑自行车的速度均相同, 那么他们如何选择登岸地点 $P$ 的位置, 才能取得胜利呢?",5    "solution": "如图(<FilePath:./images/volume3/figures/fig-c6p17.png>),设河水流速为 $v_0$, 人在静水中划船的速度为 $v_1$, 在岸上骑车的速度为 $v_2\\left(v_2>v_1+v_0\\right)$, 河宽为 $\\left|B B^{\\prime}\\right|=d,\\left|B^{\\prime} C\\right|=s$, 船速方向 $\\overrightarrow{B D}$ 与岸的夹角为 $\\theta$, 船实际行驶方向 $\\overrightarrow{B P}\\left(v_1\\right.$ 与 $v_0$ 的合速度方向与岸的夹角为 $\\alpha$, 从 $B$ 经 $P$ 到 $C$ 所用时间为 $T$, 过 $D$ 作 $D E / / B^{\\prime} C$ 交 $B P$ 于 $E$, 则 $\\frac{v_1}{\\sin \\alpha}=\\frac{v_0}{\\sin (\\theta-\\alpha)} \\cdots$ (1).\n$T=\\frac{d}{v_1 \\sin \\theta}+\\frac{s-d \\cot \\alpha}{v_2} \\cdots$ (2). 由 (1) 得 $\\cot \\alpha=\\frac{v_1 \\cos \\theta+v_0}{v_1 \\sin \\theta}$ 代入 (2) 得 $T= \\frac{d}{v_1 \\sin \\theta}+\\frac{s v_1 \\sin \\theta-d v_1 \\cos \\theta-d v_0}{v_1 v_2 \\sin \\theta}$, 所以 $T v_1 v_2 \\sin \\theta=d v_2+s v_1 \\sin \\theta- d v_1 \\cos \\theta-d v_0$. 整理得 $\\left(T v_1 v_2-s v_1\\right) \\sin \\theta+d v_1 \\cos \\theta=d\\left(v_2-v_0\\right)$. 从而 $v_1 \\sqrt{\\left(T v_2-s\\right)^2+d^2} \\sin (\\theta+\\varphi)=d\\left(v_1-v_b\\right)$, 于是 $\\left|\\frac{d\\left(v_2-v_b\\right)}{v_1 \\sqrt{\\left(T v_2-s\\right)^2+d^2}}\\right| \\leqslant 1$. \n解得 $T \\geqslant \\frac{s}{v_2}+\\frac{d \\sqrt{\\left(v_2-v_b\\right)^2-v_1^2}}{v_1 v_2}$. 等号当且仅当 $\\sin (\\theta+\\varphi)=1$ 时成立.\n从而 $\\cos \\theta= \\sin \\varphi=\\frac{d}{\\sqrt{\\left(T v_2-s\\right)^2+d^2}}=\\frac{v_1}{v_2-v_1}, \\sin \\theta=\\cos \\varphi=\\frac{T v_2-s}{\\sqrt{\\left(T v_2-s\\right)^2+d^2}}= \\frac{\\sqrt{\\left(v_2-v_1\\right)^2-v_1^2}}{v_2-v_1}$, 所以 $\\cot \\alpha=\\frac{v_1 \\cos \\theta+v_0}{v_1 \\sin \\theta}=\\frac{v_1^2+v_2 v_0-v_0^2}{v_1 \\sqrt{\\left(v_2-v_0\\right)^2-v_1^2}}$. 故登岸的最佳地点 $P$ 随 $B^{\\prime}$ 的距离为 $\\left|B^{\\prime} P\\right|=\\frac{\\left(v_1^2+v_2 r_0-v_0^2\\right) d}{v_1 \\sqrt{\\left(v_2-r_0\\right)^2-v_1^2}}$.",6    "remark": "",7    "figures": [8        "./images/volume3/figures/fig-c6p17.png"9    ]10}