math-ai/BlueMO

1{2    "source_file": "./raw_volume-zh/volume3/exercise2.tex",3    "problem_type": "calculation",4    "problem": "问题26 (1) 求值: $\\cos ^4 \\frac{\\pi}{16}+\\cos ^4 \\frac{3 \\pi}{16}+\\cos ^4 \\frac{5 \\pi}{16}+\\cdots+\\cos ^4 \\frac{15 \\pi}{16}$;\n(2) 求 $\\cos ^5 \\frac{\\pi}{9}+\\cos ^5 \\frac{5 \\pi}{9}+\\cos ^5 \\frac{7 \\pi}{9}$ 的值.",5    "solution": "(1) 设 $x=\\cos ^4 \\frac{\\pi}{16}+\\cos ^4 \\frac{3 \\pi}{16}+\\cos ^4 \\frac{5 \\pi}{16}+\\cos ^4 \\frac{7 \\pi}{16}, y=\\sin ^4 \\frac{\\pi}{16}+\\sin ^4 \\frac{3 \\pi}{16}+ \\sin ^4 \\frac{5 \\pi}{16}+\\sin ^4 \\frac{7 \\pi}{16}$, 则 $x-y=\\left(\\cos ^2 \\frac{\\pi}{16}-\\sin ^2 \\frac{\\pi}{16}\\right)+\\left(\\cos ^2 \\frac{3 \\pi}{16}-\\sin ^2 \\frac{3 \\pi}{16}\\right)+\\left(\\cos ^2 \\frac{5 \\pi}{16}-\\right. \\left.\\sin ^2 \\frac{5 \\pi}{16}\\right)+\\left(\\cos ^2 \\frac{7 \\pi}{16}-\\sin ^2 \\frac{7 \\pi}{16}\\right)=\\cos \\frac{\\pi}{8}+\\cos \\frac{3 \\pi}{8}+\\cos \\frac{5 \\pi}{8}+\\cos \\frac{7 \\pi}{8}=0 ; x+ y=4-2\\left(\\cos ^2 \\frac{\\pi}{16} \\sin ^2 \\frac{\\pi}{16}+\\cos ^2 \\frac{3 \\pi}{16} \\sin ^2 \\frac{3 \\pi}{16}+\\cos ^2 \\frac{5 \\pi}{16} \\sin ^2 \\frac{5 \\pi}{16}+\\cos ^2 \\frac{7 \\pi}{16} \\sin ^2 \\frac{7 \\pi}{16}\\right)=4- \\frac{1}{2}\\left(\\sin ^2 \\frac{\\pi}{8}+\\sin ^2 \\frac{3 \\pi}{8}+\\sin ^2 \\frac{5 \\pi}{8}+\\sin ^2 \\frac{7 \\pi}{8}\\right)=4-\\left(\\sin ^2 \\frac{\\pi}{8}+\\sin ^2 \\frac{3 \\pi}{8}\\right)=4- \\left(\\frac{1-\\cos \\frac{\\pi}{4}}{2}+\\frac{1-\\cos \\frac{3 \\pi}{4}}{2}\\right)=3$. 故 $x=y=\\frac{3}{2}$. (2) 设 $x_1=\\cos \\frac{\\pi}{9}, x_2= \\cos \\frac{5 \\pi}{9}, x_3=\\cos \\frac{7 \\pi}{9}$, 则 $x_1+x_2+x_3=\\cos \\frac{\\pi}{9}+\\cos \\frac{5 \\pi}{9}+\\cos \\frac{7 \\pi}{9}=2 \\cos \\frac{4 \\pi}{9} \\cos \\frac{\\pi}{3}+ \\cos \\frac{5 \\pi}{9}=\\cos \\frac{4 \\pi}{9}+\\cos \\frac{5 \\pi}{9}=0 ; x_1 x_2+x_2 x_3+x_3 x_1=\\cos \\frac{\\pi}{9} \\cos \\frac{5 \\pi}{9}+\\cos \\frac{5 \\pi}{9}$\n$$\n\\begin{aligned}\n& \\cos \\frac{7 \\pi}{9}+\\cos \\frac{7 \\pi}{9} \\cos \\frac{\\pi}{9}=\\frac{1}{2}\\left(\\cos \\frac{2 \\pi}{3}+\\cos \\frac{4 \\pi}{9}+\\cos \\frac{4 \\pi}{3}+\\cos \\frac{2 \\pi}{9}+\\cos \\frac{8 \\pi}{9}+\\right. \\\\\n& \\left.\\cos \\frac{2 \\pi}{3}\\right)=\\frac{1}{2}\\left[-\\frac{3}{2}+\\cos \\frac{4 \\pi}{9}+\\left(\\cos \\frac{2 \\pi}{9}+\\cos \\frac{8 \\pi}{9}\\right)\\right]=-\\frac{3}{4}+\\frac{1}{2}\\left(\\cos \\frac{4 \\pi}{9}+\\right. \\\\\n& \\left.2 \\cos \\frac{5 \\pi}{9} \\cos \\frac{\\pi}{3}\\right)=-\\frac{3}{4}+\\frac{1}{2}\\left(\\cos \\frac{4 \\pi}{9}+\\cos \\frac{5 \\pi}{9}\\right)=-\\frac{3}{4} ; x_1 \\cdot x_2 \\cdot x_3=\\cos \\frac{\\pi}{9} \\cos \\frac{5 \\pi}{9} \\\\\n& \\cos \\frac{7 \\pi}{9}=\\cos \\frac{\\pi}{9} \\cos \\frac{4 \\pi}{9} \\cos \\frac{2 \\pi}{9}=\\frac{8 \\sin \\frac{\\pi}{9} \\cos \\frac{\\pi}{9} \\cos \\frac{2 \\pi}{9} \\cos \\frac{4 \\pi}{9}}{8 \\sin \\frac{\\pi}{9}}=\\frac{\\sin \\frac{8 \\pi}{9}}{8 \\sin \\frac{\\pi}{9}}=\\frac{1}{8}, \\text { 故 } \\\\\n& x_1 、 x_2 、 x_3 \\text { 是方程 } x^3-\\frac{3}{4} x-\\frac{1}{8}=0 \\text { 的根.\n所以 } x^5=\\frac{3}{4} x^3+\\frac{1}{8} x^2= \\\\\n& \\frac{3}{4}\\left(\\frac{3}{4} x+\\frac{1}{8}\\right)+\\frac{1}{8} x^2=\\frac{1}{8} x^2+\\frac{9}{16} x+\\frac{3}{32}, \\text { 从而 } \\cos ^5 \\frac{\\pi}{9}+\\cos ^5 \\frac{5 \\pi}{9}+\\cos ^5 \\frac{7 \\pi}{9}= \\\\\n& \\frac{1}{8}\\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\\right)+\\frac{9}{16}\\left(x_1+x_2+x_3\\right)+\\frac{3}{32} \\times 3=\\frac{1}{8}\\left[\\left(x_1+x_2+x_3\\right)^2-\\right. \\\\\n& \\left.2\\left(x_1 x_2+x_2 x_3+x_3 x_1\\right)\\right]+\\frac{9}{16}\\left(x_1+x_2+x_3\\right)+\\frac{9}{32}=\\frac{1}{8} \\times(-2) \\times\\left(-\\frac{3}{4}\\right)+ \\\\\n& \\frac{9}{32}=\\frac{15}{32} .\n\\end{aligned}\n$$\n$x_1 、 x_2 、 x_3$ 是方程 $x^3-\\frac{3}{4} x-\\frac{1}{8}=0$ 的根.\n所以 $x^5=\\frac{3}{4} x^3+\\frac{1}{8} x^2= \\frac{3}{4}\\left(\\frac{3}{4} x+\\frac{1}{8}\\right)+\\frac{1}{8} x^2=\\frac{1}{8} x^2+\\frac{9}{16} x+\\frac{3}{32}$, 从而 $\\cos ^5 \\frac{\\pi}{9}+\\cos ^5 \\frac{5 \\pi}{9}+\\cos ^5 \\frac{7 \\pi}{9}= \\frac{1}{8}\\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\\right)+\\frac{9}{16}\\left(x_1+x_2+x_3\\right)+\\frac{3}{32} \\times 3=\\frac{1}{8}\\left[\\left(x_1+x_2+x_3\\right)^2-\\right. \\left.2\\left(x_1 x_2+x_2 x_3+x_3 x_1\\right)\\right]+\\frac{9}{16}\\left(x_1+x_2+x_3\\right)+\\frac{9}{32}=\\frac{1}{8} \\times(-2) \\times\\left(-\\frac{3}{4}\\right)+ \\frac{9}{32}=\\frac{15}{32}$.",6    "remark": "",7    "figures": []8}