math-ai/BlueMO

1{2    "source_file": "./raw_volume-zh/volume3/chapter6.tex",3    "problem_type": "calculation",4    "problem": "例6. 要想在一块圆心角为 $\\alpha(0<\\alpha<\\pi)$ 、半径为 $R$ 的扇形铁板中截出一块面积最大的矩形, 应该怎样截取? 求出这个矩形的面积.",5    "solution": "解:(1) 当 $0<\\alpha \\leqslant \\frac{\\pi}{2}$ 时,有两种截取的情形:\n情形 1: 如图(<FilePath:./images/volume3/figures/fig-c6i3-1.png>), 矩形的一条边落在半径上, 设 $A B=x, A D=y$, 在 Rt $\\triangle A O D$ 中, $O D=\\frac{y}{\\sin \\alpha}$, 在 $\\triangle O D C$ 中, $\\angle O D C=\\pi-\\alpha$, 由余弦定理得\n$$\nR^2=x^2+\\frac{y^2}{\\sin ^2 \\alpha}-2 \\cdot x \\cdot \\frac{y}{\\sin \\alpha} \\cos (\\pi-\\alpha) \\geqslant \\frac{2 x y}{\\sin \\alpha}+\\frac{2 x y \\cos \\alpha}{\\sin \\alpha},\n$$\n所以 $x y \\leqslant \\frac{R^2 \\sin \\alpha}{2(1+\\cos \\alpha)}=\\frac{1}{2} R^2 \\tan \\frac{\\alpha}{2}$. 当且仅当 $x=\\frac{y}{\\sin \\alpha}$ 时等号成立.\n结合 $x y=\\frac{1}{2} R^2 \\tan \\frac{\\alpha}{2}$, 易求 $y=R \\sin \\frac{\\alpha}{2}, O D=\\frac{R}{2 \\cos \\frac{\\alpha}{2}}$.\n情形 2 : 如图(<FilePath:./images/volume3/figures/fig-c6i3-2.png>), 矩形的两个顶点分别在两条半径上,另两个点在圆弧上, 如图所示, $E 、 F$ 分别是 $A B 、 C D$ 的中点, 则可化为情形 1 , 先求矩形 $E F C B$ 面积最大值, 最大面积为 $\\frac{R^2}{2} \\tan \\frac{\\alpha}{4}$. 根据对称性, 矩形 $A B C D$ 的最大面积为 $2 \\cdot \\frac{R^2}{2} \\tan \\frac{\\alpha}{4}=R^2 \\tan \\frac{\\alpha}{4}$. 此时 $O A=O B=\\frac{R}{2 \\cos \\frac{\\alpha}{4}}$.\n因为 $\\tan \\frac{\\alpha}{2}=\\frac{2 \\tan \\frac{\\alpha}{4}}{1-\\tan ^2 \\frac{\\alpha}{4}}, 0<\\alpha \\leqslant \\frac{\\pi}{2}$, 所以 $0<\\frac{\\alpha}{4}<\\frac{\\pi}{8}, 0<1- \\tan ^2 \\frac{\\alpha}{4}<1$. 从而 $\\tan \\frac{\\alpha}{2}>2 \\tan \\frac{\\alpha}{4}$, 即 $\\frac{R^2}{2} \\tan \\frac{\\alpha}{2}>R^2 \\tan \\frac{\\alpha}{4}$. 即 $0<\\alpha \\leqslant \\frac{\\pi}{2}$ 时, $S_{\\max }=\\frac{R^2}{2} \\tan \\frac{\\alpha}{2}$.\n (2)当 $\\frac{\\alpha}{2}<\\alpha<\\pi$ 时,也有两种截取的情形:\n情形 3: 如图(<FilePath:./images/volume3/figures/fig-c6i3-3.png>), 矩形的一条边在半径上, 设 $\\angle A O B=\\theta$, 则 $O A=R \\cos \\theta$, $A B=R \\sin \\theta$, 矩形 $O A B C$ 的面积\n$$\nS=O A \\cdot A B=R^2 \\sin \\theta \\cos \\theta=\\frac{1}{2} R^2 \\sin 2 \\theta .\n$$\n故 $\\theta=\\frac{\\pi}{4}$ 时, $S_{\\text {max }}=\\frac{1}{2} R^2$.\n情形 4: 如图(<FilePath:./images/volume3/figures/fig-c6i3-4.png>), 矩形的两个顶点分别在两条半径上, 另两个顶点在圆弧上, 同情形 2 , 可求\n$S_{\\text {max }}=R^2 \\tan \\frac{\\alpha}{4}$. 当 $-\\frac{1}{2} R^2 \\geqslant R^2 \\tan \\frac{\\alpha}{4}$, 即 $\\frac{\\pi}{2}<\\alpha \\leqslant 4 \\arctan \\frac{1}{2}$ 时, $S_{\\text {max }}=\\frac{R^2}{2}$ ;\n当 $\\frac{1}{2} R^2<R^2 \\tan \\frac{\\alpha}{4}$, 即 $4 \\arctan \\frac{1}{2}<\\alpha<\\pi$ 时, $S_{\\text {max }}=R^2 \\tan \\frac{\\alpha}{4}$.\n综上讨论得, 当 $0<\\alpha \\leqslant \\frac{\\pi}{2}$, 按图示 (1), 截取 $O D=\\frac{R}{2 \\cos \\frac{\\alpha}{2}}$;\n当 $\\frac{\\pi}{2}<\\alpha \\leqslant 4 \\arctan \\frac{1}{2}$ 时, 按图 (3), 截取 $\\angle A O B=\\frac{\\pi}{4}$;\n当 $4 \\arctan \\frac{1}{2}<\\alpha<\\pi$ 时, 按图(<FilePath:./images/volume3/figures/fig-c6i3-4.png>), 截取 $O A=\\frac{R}{2 \\cos \\frac{\\alpha}{4}}$. 且\n$$\nS_{\\max }=\\left\\{\\begin{array}{l}\n\\frac{1}{2} R^2 \\tan \\frac{\\alpha}{2}, 0<\\alpha \\leqslant \\frac{\\pi}{2}, \\\\\n\\frac{R^2}{2}, \\frac{\\pi}{2}<\\alpha \\leqslant 4 \\arctan \\frac{1}{2}, \\\\\nR^2 \\tan \\frac{\\alpha}{4}, 4 \\arctan \\frac{1}{2}<\\alpha<\\pi .\n\\end{array}\\right.\n$$",6    "remark": "",7    "figures": [8        "./images/volume3/figures/fig-c6i3-1.png",9        "./images/volume3/figures/fig-c6i3-2.png",10        "./images/volume3/figures/fig-c6i3-3.png",11        "./images/volume3/figures/fig-c6i3-4.png",12        "./images/volume3/figures/fig-c6i3-4.png"13    ]14}