math-ai/BlueMO

1{2    "source_file": "./raw_volume-zh/volume3/chapter2.tex",3    "problem_type": "calculation",4    "problem": "例9 计算下列各式的值:\n(1) 已知 $\\alpha 、 \\beta$ 为锐角, $\\cos \\alpha=\\frac{1}{7}, \\sin (\\alpha+\\beta)=\\frac{5 \\sqrt{3}}{14}$, 求 $\\cos \\beta$;\n(2) 若 $\\tan \\alpha 、 \\tan \\beta$ 是方程 $x^2+b x+c=0(b \\neq 0)$ 的两根, 求 $\\sin ^2(\\alpha+ \\beta)+b \\sin (\\alpha+\\beta) \\cos (\\alpha+\\beta)+c \\cos ^2(\\alpha+\\beta)$ 的值.",5    "solution": "分析:充分挖掘隐含条件, 正确估算角的范围, 计算第 (1) 题.\n恰当应用公式,分类讨论求第 $(2)$ 题.\n解 (1) 因为 $\\alpha 、 \\beta$ 均为锐角, $\\sin (\\alpha+\\beta)=\\frac{5 \\sqrt{3}}{14}<\\frac{\\sqrt{3}}{2}$. 所以 $0<\\alpha+\\beta< \\frac{\\pi}{3}$ 或 $\\frac{2 \\pi}{3}<\\alpha+\\beta<\\pi$, 而 $\\cos \\alpha=\\frac{1}{7}<\\frac{1}{2}$, 所以 $\\frac{\\pi}{3}<\\alpha<\\frac{\\pi}{2}$, 从而 $\\alpha+\\beta$ 为钝角, $\\cos (\\alpha+\\beta)=-\\sqrt{1-\\sin ^2(\\alpha+\\beta)}=-\\sqrt{1-\\left(\\frac{5 \\sqrt{3}}{14}\\right)^2}=-\\frac{11}{14}, \\sin \\alpha=\\frac{4 \\sqrt{3}}{7}$.\n故 $\\cos \\beta=\\cos (\\alpha+\\beta-\\alpha)=\\cos (\\alpha+\\beta) \\cos \\alpha+\\sin (\\alpha+\\beta) \\sin \\alpha$\n$$\n=-\\frac{11}{14} \\times \\frac{1}{7}+\\frac{5 \\sqrt{3}}{14} \\times \\frac{4 \\sqrt{3}}{7}=\\frac{1}{2} .\n$$\n(2) 由已知条件,得 $\\tan \\alpha+\\tan \\beta=-b, \\tan \\alpha \\cdot \\tan \\beta=c$. 所以当 $c \\neq 1$ 时,\n$$\n\\begin{gathered}\n\\tan (\\alpha+\\beta)=\\frac{\\tan \\alpha+\\tan \\beta}{1-\\tan \\alpha \\cdot \\tan \\beta}=\\frac{b}{c-1} . \\\\\n\\sin ^2(\\alpha+\\beta)+b \\sin (\\alpha+\\beta) \\cos (\\alpha+\\beta)+c \\cos ^2(\\alpha+\\beta) \\\\\n=\\frac{\\sin ^2(\\alpha+\\beta)+b \\sin (\\alpha+\\beta) \\cos (\\alpha+\\beta)+c \\cos ^2(\\alpha+\\beta)}{\\sin ^2(\\alpha+\\beta)+\\cos ^2(\\alpha+\\beta)} \\\\\n=\\frac{\\tan ^2(\\alpha+\\beta)+b \\tan (\\alpha+\\beta)+c}{\\tan ^2(\\alpha+\\beta)+1}=\\frac{\\left(\\frac{b}{c-1}\\right)^2+\\frac{b^2}{c-1}+c}{1+\\left(\\frac{b}{c-1}\\right)^2}=c .\n\\end{gathered}\n$$\n当 $c=1$ 时, $\\tan \\alpha \\cdot \\tan \\beta=1$, 此时, $\\alpha+\\beta=k \\pi+\\frac{\\pi}{2}(k \\in \\mathbf{Z}), \\cos (\\alpha+ \\beta)=0, \\sin (\\alpha+\\beta)= \\pm 1$, 原式 $=1$.\n评注本题第 (1) 题如不能正确估计, 会出现 $\\cos (\\alpha+\\beta)= \\pm \\frac{11}{14}$, 从而 $\\cos \\beta=\\frac{1}{2}$ 或 $\\frac{71}{98}$, 其原因是未能就 $\\sin (\\alpha+\\beta)=\\frac{5 \\sqrt{3}}{14}$ 深人挖掘 $\\alpha+\\beta$ 的取值范围;\n第(2) 题容易忽略 $\\tan (\\alpha+\\beta)=\\frac{\\tan \\alpha+\\tan \\beta}{1-\\tan (\\alpha+\\beta)}$ 中 $\\tan \\alpha \\cdot \\tan \\beta \\neq 1$ 这一隐含的约束条件, 即 $\\tan (\\alpha+\\beta)$ 不存在的情形.",6    "remark": "",7    "figures": []8}