math-ai/BlueMO

1{2    "source_file": "./raw_volume-zh/volume3/chapter1.tex",3    "problem_type": "calculation",4    "problem": "例12 求函数 $y=(a+\\cos x)(a+\\sin x)$ 的值域.",5    "solution": "分析:对于含参数的函数, 应对 $a$ 进行分类讨论.\n解 $y=a^2+a(\\sin x+\\cos x)+\\sin x \\cos x$.\n设 $\\sin x+\\cos x=t$, 则 $\\sin x \\cos x=\\frac{t^2-1}{2},-\\sqrt{2} \\leqslant t \\leqslant \\sqrt{2}$, 所以\n$$\ny=a^2+a t+\\frac{1}{2}\\left(t^2-1\\right)=\\frac{1}{2}(t+a)^2+\\frac{a^2-1}{2} .\n$$\n(1) 当 $a \\geqslant \\sqrt{2}$ 时, 当 $t=\\sqrt{2}$ 时, $y_{\\text {max }}=a^2+\\sqrt{2} a+\\frac{1}{2}=\\left(a+\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)^2$;\n当 $t=-\\sqrt{2}$ 时, $y_{\\text {min }}=a^2-\\sqrt{2} a+\\frac{1}{2}=\\left(a-\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)^2$.\n所以函数的值域为 $\\left[\\left(a-\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)^2,\\left(a+\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)^2\\right]$.\n(2) 当 $0 \\leqslant a \\leqslant \\sqrt{2}$ 时, 当 $t=\\sqrt{2}$ 时, $y_{\\text {max }}=\\left(a+\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)^2$;\n当 $t=-a$ 时, $y_{\\text {min }}=\\frac{a^2-1}{2}$.\n所以函数的值域为 $\\left[\\frac{a^2-1}{2},\\left(a+\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)^2\\right]$.\n(3) 当 $-\\sqrt{2} \\leqslant a \\leqslant 0$ 时, 当 $t=-\\sqrt{2}$ 时, $y_{\\text {max }}=\\left(a-\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)^2$;\n当 $t=-a$ 时, $y_{\\text {min }}=\\frac{a^2-1}{2}$.\n所以函数的值域为 $\\left[\\frac{a^2-1}{2},\\left(a-\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)^2\\right]$.\n(4) 当 $a<-\\sqrt{2}$ 时, 当 $t=-\\sqrt{2}$ 时, $y_{\\text {max }}=\\left(a-\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)^2$;\n当 $t=\\sqrt{2}$ 时, $y_{\\text {min }}=\\left(a+\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)^2$.\n所以函数的值域为 $\\left[\\left(a+\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)^2,\\left(a-\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)^2\\right]$.\n评注有关含 $\\sin x$ 和 $\\cos x$ 的二次函数值域问题, 必须注意隐含条件 $|\\sin x| \\leqslant 1$ 和 $|\\cos x| \\leqslant 1$.",6    "remark": "",7    "figures": []8}