math-ai/BlueMO

1{2    "source_file": "./raw_volume-zh/volume3/chapter1.tex",3    "problem_type": "calculation",4    "problem": "例6 已知函数 $f(x)=\\frac{a-2 \\cos x}{3 \\sin x}$ 在区间 $\\left(0, \\frac{\\pi}{2}\\right)$ 内是增函数, 求 $a$ 的取值范围.",5    "solution": "分析:根据增函数的定义, 列出不等式, 求 $a$ 的取值范围.\n解法一由条件得: 当 $0<x_1<x_2<\\frac{\\pi}{2}$ 时,\n$$\nf\\left(x_1\\right)-f\\left(x_2\\right)=\\frac{a-2 \\cos x_1}{3 \\sin x_1}-\\frac{a-2 \\cos x_2}{3 \\sin x_2}<0,\n$$\n因为 $\\sin x_2>\\sin x_1>0$, 所以去分母得\n$$\na \\sin x_2-2 \\cos x_1 \\sin x_2-a \\sin x_1+2 \\cos x_2 \\sin x_1<0,\n$$\n整理得\n$$\na\\left(\\sin x_2-\\sin x_1\\right)-2 \\sin \\left(x_2-x_1\\right)<0,\n$$\n故 $a<\\frac{2 \\sin \\left(x_2-x_1\\right)}{\\sin x_2-\\sin x_1}=\\frac{4 \\sin \\frac{x_2-x_1}{2} \\cos \\frac{x_2-x_1}{2}}{2 \\cos \\frac{x_2+x_1}{2} \\sin \\frac{x_2-x_1}{2}}=\\frac{2 \\cos \\frac{x_2-x_1}{2}}{\\cos \\frac{x_2+x_1}{2}}$.\n由于\n$$\n\\begin{aligned}\n\\cos \\frac{x_2-x_1}{2} & =\\cos \\frac{x_2}{2} \\cos \\frac{x_1}{2}+\\sin \\frac{x_2}{2} \\sin \\frac{x_1}{2} \\\\\n& >\\cos \\frac{x_2}{2} \\cos \\frac{x_1}{2}-\\sin \\frac{x_2}{2} \\sin \\frac{x_1}{2} \\\\\n& =\\cos \\frac{x_1+x_2}{2}>0,\n\\end{aligned}\n$$\n所以 $\\frac{\\cos \\frac{x_2-x_1}{2}}{\\cos \\frac{x_1+x_2}{2}}>1$, 从而 $a \\leqslant 2$, 即 $a$ 的取值范围为 $(-\\infty, 2]$.\n解法二记 $\\tan \\frac{x}{2}=t$, 则 $\\sin x=\\frac{2 t}{1+t^2}, \\cos x=\\frac{1-t^2}{1+t^2}$, 且 $t \\in(0,1)$,\n所以\n$$\n\\begin{aligned}\ng(t) & =f(x)=\\frac{a-2 \\times \\frac{1-t^2}{1+t^2}}{3 \\times \\frac{2 t}{1+t^2}}=\\frac{(a-2)+(a+2) t^2}{6 t} \\\\\n& =\\frac{a-2}{6 t}+\\frac{a+2}{6} \\cdot t .\n\\end{aligned}\n$$\n设 $0<t_1<t_2<1$, 则\n$$\ng\\left(t_1\\right)-g\\left(t_2\\right)=\\left(\\frac{a-2}{6 t_1}+\\frac{a+2}{6} t_1\\right)-\\left(\\frac{a-2}{6 t_2}+\\frac{a+2}{6} t_2\\right)<0,\n$$\n去分母得\n$$\n(a-2) t_2+(a+2) t_1^2 t_2-(a-2) t_1-(a+2) t_1 t_2^2<0,\n$$\n整理得\n$$\n\\left(t_2-t_1\\right)\\left(a-a t_1 t_2-2-2 t_1 t_2\\right)<0 .\n$$\n而 $0<t_1<t_2<1$, 所以 $a<\\frac{2\\left(1+t_1 t_2\\right)}{1-t_1 t_2}$.\n显然 $\\frac{1+t_1 t_2}{1-t_1 t_2}>1$, 故 $a \\leqslant 2$, 即 $a$ 的取值范围为 $(-\\infty, 2]$.\n评注对于含参数不等式的问题, 如 $a<f(t)$ 恒成立, 则应取 $f(t)$ 的最小值后得 $a$ 的取值范围; 如 $a>f(t)$, 则取 $f(t)$ 的最大值后得 $a$ 的取值范围, 如 $f(t)$ 无最值, 则取它的变化趋势的最值.",6    "remark": "",7    "figures": []8}