math-ai/BlueMO

1{2    "source_file": "./raw_volume-zh/volume2/exercise7.tex",3    "problem_type": "calculation",4    "problem": "问题28. 求函数方程:\n$$\nf(4 x)=f(2 x)+f(x)(x \\in(-\\infty,+\\infty))\n$$\n的所有解.",5    "solution": "在原恒等式中取 $x=0$, 得 $f(0)=0$. 若任取 $x=a \\neq 0$, 设 $f(a)=b_1, f(2 a)=b_2$. \n由原恒等式可得 $\\left\\{\\begin{array}{l}f(4 a)=b_1+b_2, \\\\ f(8 a)=b_1+2 b_2, \\\\ f(18 a)=2 b_1+3 b_2, \\\\ \\ldots \\ldots\\end{array}\\right.$ \n将原恒等式改写为 $f(x)=f(4 x)-f(2 x)$. 于是 $f\\left(\\frac{x}{2}\\right)=f(2 x)-f(x)$. 从而 $\\left\\{\\begin{array}{l}f\\left(\\frac{a}{2}\\right)=b_2-b_1, \\\\ f\\left(\\frac{a}{4}\\right)=-b_2+2 b_1, \\\\ f\\left(\\frac{9}{8}\\right)=2 b_2-3 b_1, \\\\ \\ldots \\ldots\\end{array}\\right.$ 合 $\\left\\{2^n a \\mid n=0, \\pm 1, \\pm 2, \\cdots\\right\\}$ 上的取值就唯一确定了下来.\n因此, 只要任给了 $f(x)$ 在区间 $[1,2)$ 和 $[2,4)$ 上的值, $f$ 在 $(0,+\\infty)$ 上就完全确定了.\n同样, 再给定 $f$ 在 $[-4,-2]$ 和 $(-2,-1]$ 上的值, $f$ 在 $(-\\infty, 0)$ 上也唯一确定了.\n记 $t_n=f\\left(2^n x\\right)$. \n于是, 由函数方程 $f(4 x)=f(2 x)+f(x)$, 知 $t_n=t_{n-1}+t_{n-2}$. 对应的特征方程为 $x^2=x+1$. 其根 $x_{1,2}=\\frac{1 \\pm \\sqrt{5}}{2}$. 故 $t_n=\\alpha_1 x_1^n+\\alpha_2 x_2^n$. 由于 $\\left\\{\\begin{array}{l}\\alpha_1=\\frac{1}{\\sqrt{5}}\\left(f(2 x)-\\frac{1-\\sqrt{5}}{2} f(x)\\right), \\\\ \\alpha_2=-\\frac{1}{\\sqrt{5}}\\left(f(2 x)-\\frac{1+\\sqrt{5}}{2} f(x)\\right) .\\end{array}\\right.$\n因此, 函数方程的解可表达如下: $f(x)=\\left\\{\\begin{aligned} g(x), \\text { 当 } 1 \\leqslant x<4 \\text { 或 }-4<x \\leqslant 1, g(x) \\text { 任意给定； } \\\\ \\alpha_1 \\cdot\\left(\\frac{1+\\sqrt{5}}{2}\\right)^n+\\alpha_2\\left(\\frac{1-\\sqrt{5}}{2}\\right)^n, \\text { 当 } 2^n \\leqslant x<2^{n+1} \\text { 或者 } \\\\ \\quad-2^{n+1}<x \\leqslant-2^n, n=-1, \\pm 2, \\pm 3, \\pm 4, \\cdots ;\\end{aligned}\\right.$ 其中 $\\left\\{\\begin{array}{l}\\alpha_1=\\frac{1}{\\sqrt{5}}\\left(g\\left(\\frac{x}{2^{n-1}}\\right)-\\frac{1-\\sqrt{5}}{2} g\\left(\\frac{x}{2 n}\\right)\\right), \\\\ \\alpha_2=\\frac{1}{\\sqrt{5}}\\left(-g\\left(\\frac{x}{2^{n-1}}\\right)+\\frac{1+\\sqrt{5}}{2} g\\left(\\frac{x}{2^n}\\right)\\right) .\\end{array}\\right.$",6    "remark": "",7    "figures": []8}