math-ai/BlueMO

1{2    "source_file": "./raw_volume-zh/volume2/exercise7.tex",3    "problem_type": "calculation",4    "problem": "问题20 记 $N$ 为所有非负整数的集合, 求所有函数 $f: N \\rightarrow N, g: N \\rightarrow N, h: N \\rightarrow N$ 满足下述两个条件:\n(1) 对任何 $m, n \\in N, f(m+n)=g(m)+h(n)+2 m n$;\n(2) $g(1)=h(1)=1$.",5    "solution": "在 (1) 中, 令 $n=0$, 有 $f(m)=g(m)+h(0)$, 即 $g(m)=f(m)- h(0) \\cdots$ (1). \n在 (1) 中, 令 $m=0$, 有 $f(n)=g(0)+h(n)$, 即 $h(n)=f(n)- g(0) \\cdots$ (2). \n在 (1) 中, 令 $m=n=0$, 有 $f(0)=g(0)+h(0) \\cdots$ (3). \n将(1)、(2)、 (3)代入(1)中, 得 $f(m+n)=f(m)+f(n)+2 m n-f(0)$. \n注意: 原来有三个函数的方程, 现在只剩下一个了: 在上式中, 令 $m=1$, 得 $f(n+1)=f(n)+ 2 n+(f(1)-f(0))$. \n用 $n-1, n-2, \\cdots, 0$ 依次替换上式中的 $n$, 有 $f(n)=f(n-1)+2(n-1)+(f(1)-f(0)), f(n-1)=f(n-2)+2(n-2)+(f(1)-f(0)), \\cdots, f(2)=f(1)+2 \\cdot 1+(f(1)-f(0)), f(1)=f(0)+ 2 \\cdot 0+(f(1)-f(0))$. \n把以上 $n$ 个等式相加, 得 $f(n)=f(0)+2 \\cdot[1+2+ \\cdots+(n-1)]+n(f(1)-f(0))$, 也即 $f(n)=n(n-1)+n f(1)-(n-$ 1) $f(0) \\cdots$ (4). \n在(1)式中, 令 $m=1$, 有 $g(1)=f(1)-h(0)$. \n在(2)式中, 令 $n= 1$ , 有 $h(1)=f(1)-g(0)$. \n利用条件 (2), 有 $f(1)=h(0)+1=g(0)+1$. 因而 $h(0)=g(0)=a$ ( $a$ 为非负整数). \n代入(3), 得 $f(0)=2 a$. 并且有 $f(1)= h(0)+1=a+1$. 将以上两式代入(4), 有 $f(n)=n(n-1)+n(a+1)-(n- 1) \\cdot 2 a$. 即 $f(n)=n^2-a n+2 n \\cdots$ (5). \n将(5)代入(1)、(2), 得 $g(n)=n^2-a n+ a \\cdots$ (6). $h(n)=n^2-a n+a \\cdots$ (7). \n下面讨论 $a$ 的取值范围.\n显然, 当 $n$ 为非负整数时, 如果 $g(n)$ 是非负整数, 那么 $f(n), g(n), h(n)$ 都是非负整数.\n因此只需对 $g(n)$ 作讨论.\n如果 $a=2 k$ ( $k$ 为非负整数), 那么 $g(n)=n^2-2 k n+2 k= (n-k)^2-k^2+2 k$. \n于是, $g(n)$ 的最小值为 $g(k)=-k^2+2 k$. 由题意, $g(k) \\geqslant$ 0 . 所以 $k=0,1,2$. 从而 $a=0,2,4$. \n如果 $a=2 k+1$ ( $k$ 为非负整数), 那么 $g(n)=n^2-(2 k+1) n+(2 k+1)=\\left(n-\\frac{2 k+1}{2}\\right)^2-\\frac{1}{4}(2 k+1)^2+(2 k+1)$. 而 $n$ 为非负整数, 则 $g(n)$ 的最小值为 $g(k)=g(k+1)=-k^2+k+1$. \n由题意 $g(k) \\geqslant 0$. 即 $-k^2+k+1=-\\left(k-\\frac{1}{2}\\right)^2+\\frac{5}{4} \\geqslant 0$. 所以 $k=0,1$. 从而 $a=1,3$.  \n反之, 当 $a \\in\\{0,1,2,3,4\\}$ 时, 易检验: 函数 $f(n)=n^2-a n+ 2 a, g(n)=h(n)=n^2-a n+a$ 符合题意, \n综上, 本题的全部解为 $f(n)=n^2- a n+2 a, g(n)=h(n)=n^2-a n+a$. 其中 $a \\in\\{0,1,2,3,4\\}$.",6    "remark": "",7    "figures": []8}