math-ai/BlueMO

1{2    "source_file": "./raw_volume-zh/volume2/exercise7.tex",3    "problem_type": "calculation",4    "problem": "问题9 求所有函数 $f, g: \\mathbf{R} \\rightarrow \\mathbf{R}$, 使得对任意 $x, y \\in \\mathbf{R}$,\n$$\nf(x+y g(x))=g(x)+x f(y) .\n$$",5    "solution": "(1) $f(x) \\equiv 0, g(x) \\equiv 0$ 为此函数方程的平凡解.\n(2) 下面我们考虑非平凡解.\n令 $x=0$, 则 $f(y g(0))=g(0)$. 若 $g(0) \\neq 0$, 则 $f(x)=g(0)$, 即 $f(x)$ 为常数 $c$; 于是 $g(0)=g(x)+x g(0), g(x)=(1-x) g(0)$. 故 $f(x)=c$, $g(x)=(1-x) c$ 为解.\n(3) 若 $g(0)=0$, 则 $f(0)=0$. 令 $y=0$, 有 $f(x)=g(x)+x f(0)=g(x)$, 任意 $x \\in \\mathbf{R}$. \n故问题转化为求一个函数方程: $f(x+y f(x))=f(x)+x f(y)$ (对任意 $x, y \\in \\mathbf{R}$ ) 的解.\n令 $y=0$, 则 $f(x)=f(x)+x f(0)$, 故 $f(0)=0$; 若 $f(x)=0$, 则 $0=x f(y)$, 因而 $x=0$. 即 $f(x)=0 \\Leftrightarrow x=0 \\cdots \\circledast$. 令 $x=1$, 得 $f(1+y f(1))=f(1)+f(y) \\cdots$ (1). \n若 $f(1) \\neq 1$, 取 $y=\\frac{1}{1-f(1)}$, 代入 (1), 得 $f(1)=0$, 与 $\\circledast$ 矛盾.\n所以 $f(1)=1$, 故 $f(1+y)=1+f(y)$, 任意 $y \\in \\mathbf{R} \\cdots$ (2). \n特别地, $f(n)=n$, $n \\in \\mathbf{Z}$. 取 $x=n \\in \\mathbf{Z}, y=z-1$, 代入方程得 $f(n z)=f(n+f(z-1) f(n))= n+n f(z-1)=n f(z)$, 任意 $n \\in \\mathbf{Z}, z \\in \\mathbf{R}$. \n因此 $f(r z)=r f(z)$, 任意 $r \\in \\mathbf{Q}, z \\in \\mathbf{R} \\cdots$ (3). \n由(3), $f(a)+f(-a)=0=f(a-a)$. 当 $a+b \\neq 0$ 时, $f(a)+ f(b)=f\\left(\\frac{a+b}{2}+\\frac{\\frac{a-b}{2}}{f\\left(\\frac{a+b}{2}\\right)} \\cdot f\\left(\\frac{a+b}{2}\\right)\\right)+f\\left(\\frac{a+b}{2}+\\frac{\\frac{b-a}{2}}{f\\left(\\frac{a+b}{2}\\right)} \\cdot f\\left(\\frac{a+b}{2}\\right)\\right)=\\cdot f\\left(\\frac{a+b}{2}\\right)+\\frac{a+b}{2} \\cdot f\\left(\\frac{\\frac{a-b}{2}}{f\\left(\\frac{a+b}{2}\\right)}\\right)+f\\left(\\frac{a+b}{2}\\right)+\\frac{a+b}{2} f\\left(\\frac{\\frac{b-a}{2}}{f\\left(\\frac{a+b}{2}\\right)}\\right)= 2 f\\left(\\frac{a+b}{2}\\right)=f(a+b)$. \n所以 $f(x+y f(x))=f(x)+f(y f(x)), x+y f(x) \\neq$ 0. \n又 $f(x+y f(x))=f(x)+x f(y)$, 因此 $f(y f(x))=x f(y)$. \n令 $y=1$, 则 $f(f(x))=x$, 故 $f$ 为双射.\n将 $x$ 换成 $f(x)$, 有 $f(x y)=f(x) f(y)$, 任意 $x$, $y \\in \\mathbf{R}$. 令 $y=x$, 则$f\\left(x^2\\right)=f^2(x)>0$. \n令 $y=-x$, 则 $f\\left(-x^2\\right)=f(x) f(-x)$, 故 $f(x)>0 \\Leftrightarrow x>0$. \n又因为 $f(x-f(x))=f(x)-x=-(x- f(x)$ ), 所以 $f(x)-x=0, x \\in \\mathbf{R}$. 从而 $f(x)=g(x)=x$, 任意 $x \\in \\mathbf{R}$.",6    "remark": "",7    "figures": []8}