math-ai/BlueMO

1{2    "source_file": "./raw_volume-zh/volume2/exercise3.tex",3    "problem_type": "calculation",4    "problem": "问题1 如果抛物线 $y=x^2-(k-1) x-k-1$ 与 $x$ 轴的交点为 $A 、 B$, 顶点为 $C$, 求 $\\triangle A B C$ 的面积的最小值.",5    "solution": "首先, 由 $\\Delta=(k-1)^2+4(k+1)=k^2+2 k+5=(k+1)^2+4>0$ 知, 对任意的 $k$ 值, 抛物线与 $x$ 轴总有两个交点.\n设抛物线与 $x$ 轴的两个交点的横坐标分别为 $x_1 、 x_2$, 那么 $|A B|=\\left|x_2-x_1\\right|=\\sqrt{\\left(x_2-x_1\\right)^2}= \\sqrt{\\left(x_1+x_2\\right)^2-4 x_1 x_2}=\\sqrt{k^2+2 k+5}$. 又抛物线的顶点坐标是$C\\left(\\frac{k-1}{2},-\\frac{k^2+2 k+5}{4}\\right)$, 所以, $S_{\\triangle A B C}=\\frac{1}{2} \\sqrt{k^2+2 k+5} \\cdot\\left|-\\frac{k^2+2 k+5}{4}\\right|= \\frac{1}{8} \\sqrt{\\left(k^2+2 k+5\\right)^3}$. 因为 $k^2+2 k+5=(k+1)^2+4 \\geqslant 4$, 当且仅当 $k=-1$ 时等号成立, 所以 $S_{\\triangle A B C} \\geqslant \\frac{1}{8} \\sqrt{4^3}=1$. 故 $\\triangle A B C$ 的面积的最小值为 1 .",6    "remark": "",7    "figures": []8}