math-ai/BlueMO

1{2    "source_file": "./raw_volume-zh/volume2/chapter7.tex",3    "problem_type": "calculation",4    "problem": "例7 求满足下列条件的多项式 $f(x, y)$ :\n(1) $f(x, y)$ 对于 $x 、 y$ 是齐次的, 即对任意实数 $t 、 x 、 y$, 若 $f$ 是 $n$ 次的, 则有\n$$\nf(t x, t y)==t^n f(x, y) ;\n$$\n(2) 对任意 $a 、 b 、 c \\in \\mathbf{R}$, 有\n$$\nf(a+b, c)+f(b+c, a)+f(c+a, b)=0 ;\n$$\n(3) $f(1,0)=1$.",5    "solution": "解:在(2) 中令 $a=b=c=x$, 得\n$$\nf(2 x, x)=0 .\n$$\n根据多项式的因式定理,有\n$$\nf(x, y)=(x-2 y) g(x, y) . \\quad\\quad <1>\n$$\n这里 $g(x, y)$ 是 $n-1$ 次齐次多项式.\n再在 (2) 中令 $a=b=x, c=2 y$, 得\n$$\nf(2 x, 2 y)=-2 f(x+2 y, x) .\n$$\n由 $f$ 的齐次性,得\n$$\n2^n f(x, y)=-2 f(x+2 y, x) .\n$$\n将<1>式代入上式, 得\n$$\n2^{n-1} g(x, y)=g(x+2 y, x) . \\quad\\quad <2>\n$$\n由此利用条件(3), 在<1>中令 $x=1, y=0$, 得\n$$\ng(1,0)=1 \\text {. }\n$$\n由<2>式递推,得\n$$\n\\begin{gathered}\ng(1,1)=2^{n-1}, g(3,1)=4^{n-1}, \\\\\ng(5,3)=8^{n-1}, g(11,5)=16^{n-1}, \\cdots,\n\\end{gathered}\n$$\n即存在无限多对 $(x, y)$, 使 $g(x, y)=(x+y)^{n-1}$ 成立, 由多项式恒等定理, 知\n$$\ng(x, y)=(x+y)^{n-1} .\n$$\n所以 $f(x, y)=(x-2 y)(x+y)^{n-1}$.\n经检验, 可知上述的函数满足题中条件.",6    "remark": "",7    "figures": []8}