math-ai/BlueMO

1{2    "source_file": "./raw_volume-zh/volume2/chapter4.tex",3    "problem_type": "calculation",4    "problem": "例16 若实数 $x, y$ 满足关系\n$$\n\\left\\{\\begin{array}{l}\ny \\geqslant x^2, \\\\\n2 x^2+2 x y+y^2 \\leqslant 5,\n\\end{array}\\right.\n$$\n求函数 $w=2 x+y$ 的最大值和最小值.",5    "solution": "解:令 $u=x, v=x+y$, 则原问题就转化为在约束条件\n$$\n\\left\\{\\begin{array}{l}\nu^2+u \\leqslant v, \\\\\nu^2+v^2 \\leqslant 5\n\\end{array}\\right.\n$$\n下,求函数 $w=u+v$ 的最大值和最小值.\n把约束条件在 $u v$ 平面上表示出来, 它就是如图 (<FilePath:./images/volume2/figures/fig-c4e16.png>) 所示的阴影部分(包括边界).\n令 $u+v=m$, 即 $v=-u+m$, 它是倾角为 $\\frac{3}{4} \\pi$ 的直线系, $m$ 为它的纵截距.\n我们把问题又转化为在直线系: $v=-u+m$ 中确定这样的直线, 它通过图 4-5 所示的闭区域中的至少一个点,且使得纵截距取得最大值和最小值.\n从图 (<FilePath:./images/volume2/figures/fig-c4e16.png>) 中可以看出, 直线系中与抛物线 $v= u^2+u$ 相切于点 $T$ 的直线 $l_1$ 所对应的 $m_1$ 最小, 过抛物线与圆的右边的一个交点 $P$ 的直线 $l_2$ 所对应的 $m_2$ 最大,下面求 $m_1$ 和 $m_2$. 由\n$$\n\\left\\{\\begin{array}{l}\nu+v=m_1, \\\\\nv=u^2+u\n\\end{array}\\right.\n$$\n中消去 $v$, 得 $u^2+2 u-m_1=0 . \\Delta=4+4 m_1=0$, 故 $m_1=-1$.\n解方程组\n$$\n\\left\\{\\begin{array}{l}\nv=u^2+u, \\\\\nu^2+v^2=5,\n\\end{array}\\right.\n$$\n得点 $P$ 的坐标为 $(1,2)$. 因 $l_2$ 经过点 $P$, 故 $m_2=1+2=3$.\n综上所述, 我们有 $w_{\\min }=-1, w_{\\max }=3$.\n说明在约束条件下, 求函数的最大值和最小值是数学中常见的问题, 利用函数图象的性质和曲线系来求解这类问题, 往往能化繁为简, 出奇制胜.",6    "remark": "",7    "figures": [8        "./images/volume2/figures/fig-c4e16.png",9        "./images/volume2/figures/fig-c4e16.png"10    ]11}