math-ai/BlueMO

1{2    "source_file": "./raw_volume-zh/volume2/chapter2.tex",3    "problem_type": "calculation",4    "problem": "例1 已知 $f(x)$ 是定义在 $[-6,6]$ 上的奇函数, 且 $f(x)$ 在 $[0,3]$ 上是 $x$ 的一次函数, 在 $[3,6]$ 上是 $x$ 的二次函数.\n当 $3 \\leqslant x \\leqslant 6$ 时, $f(x) \\leqslant f(5)=3$, $f(6)=2$, 求函数 $f(x)$ 的解析式.\n分析由于 $f(x)$ 是 $[-6,6]$ 上的奇函数, 所以我们只需先求出 $f(x)$ 在 $[0,6]$ 上的表达式即可.\n再把 $[0,6]$ 分成两个区间 $[0,3]$ 和 $[3,6]$, 分别求出 $f(x)$ 的解析式, 关键是求出 $f(3)$.",5    "solution": "解:由于 $f(x)$ 在 $[3,6]$ 上是二次函数, 且 $f(5)$ 是它的最大值, 故可设\n$$\nf(x)=a(x-5)^2+3,3 \\leqslant x \\leqslant 6,\n$$\n所以\n$$\n2=f(6)=a(6-5)^2+3 .\n$$\n解方程, 得 $a==-1$.\n故\n$$\nf(x)=-(x-5)^2+3,3 \\leqslant x \\leqslant 6 .\n$$\n从上可知, $f(3)=-1$. 又 $f(x)$ 是奇函数, 所以 $f(0)=0$, 设\n$$\n\\begin{gathered}\nf(x)=k x, 0 \\leqslant x \\leqslant 3, \\\\\n-1=f(3)=3 k .\n\\end{gathered}\n$$\n解方程, 得 $k=-\\frac{1}{3}$.\n所以\n$$\nf(x)=-\\frac{1}{3} x, 0 \\leqslant x \\leqslant 3 .\n$$\n由于 $f(x)=-f(-x)$, 所以当 $-6 \\leqslant x \\leqslant-3$ 时, $3 \\leqslant-x \\leqslant 6$,于是\n$$\nf(x)=-f(-x)=-\\left[-(-x-5)^2+3\\right]=(x+5)^2-3 ;\n$$\n当 $-3 \\leqslant x \\leqslant 0$ 时, $0 \\leqslant-x \\leqslant 3$, 于是\n$$\nf(x)=-f(-x)=-\\left(\\frac{1}{3} x\\right)=-\\frac{1}{3} x .\n$$\n综上可知, $f(x)$ 的解析式为\n$$\nf(x)= \\begin{cases}(x+5)^2-3, & \\text { 当 }-6 \\leqslant x<-3 \\text { 时, } \\\\ -\\frac{1}{3} x, & \\text { 当 }-3 \\leqslant x<3 \\text { 时, } \\\\ -(x-5)^2+3, & \\text { 当 } 3 \\leqslant x \\leqslant 6 \\text { 时.\n}\\end{cases}\n$$\n说明若奇函数的定义域 $D$ 包含数 0 , 则必有 $f(0)=0$, 这是因为 $f(0)=-f(-0)$, 从而 $f(0)=0$.\n从奇函数和偶函数的定义知, 奇函数的图象关于原点对称, 偶函数的图象关于 $y$ 轴对称.",6    "remark": "",7    "figures": []8}