math-ai/BlueMO

1{2    "source_file": "./raw_volume-zh/volume2/chapter1.tex",3    "problem_type": "calculation",4    "problem": "例14 (1) 设抛物线 $y=2 x^2$, 把它向右平移 $p$ 个单位, 或向下移 $q$ 个单位, 都能使得抛物线与直线 $y=x-4$ 恰好有一个交点, 求 $p, q$ 的值;\n(2) 把抛物线 $y=2 x^2$ 向左平移 $p$ 个单位, 向上平移 $q$ 个单位, 则得到的抛物线经过点 $(1,3)$ 与 $(4,9)$, 求 $p, q$ 的值.\n(3) 把抛物线 $y=a x^2+b x+c$ 向左平移 3 个单位,向下平移 2 个单位后, 所得图象是经过点 $\\left(-1,-\\frac{1}{2}\\right)$ 的抛物线 $y=a x^2$, 求原二次函数的解析式.",5    "solution": "解:(1) 抛物线 $y=2 x^2$ 向右平移 $p$ 个单位后, 得到的抛物线为 $y= 2(x-p)^2$. 于是方程 $2(x-p)^2=x-4$ 有两个相同的根, 即方程\n$$\n2 x^2-(4 p+1) x+2 p^2+4=0\n$$\n根的判别式\n$$\n\\Delta=(4 p+1)^2-4 \\cdot 2 \\cdot\\left(2 p^2+4\\right)=0 .\n$$\n所以 $p=\\frac{31}{8}$. 这时的交点为 $\\left(\\frac{33}{8}, \\frac{1}{8}\\right)$.\n抛物线 $y=2 x^2$ 向下平移 $q$ 个单位, 得到抛物线 $y=2 x^2-q$. 于是方程 $2 x^2-q=x-4$ 有两个相同的根, 即\n$$\n\\Delta=1-4 \\cdot 2(4-q)=0 .\n$$\n所以 $q=\\frac{31}{8}$. 这时的交点为 $\\left(\\frac{1}{4},-\\frac{15}{4}\\right)$.\n(2) 把 $y=2 x^2$ 向左平移 $p$ 个单位, 向上平移 $q$ 个单位, 得到的抛物线为 $y=2(x+p)^2+q$. 于是, 由题设, 得\n$$\n\\left\\{\\begin{array}{l}\n3=2(1+p)^2+q, \\\\\n9=2(4+p)^2+q .\n\\end{array}\\right.\n$$\n解方程组, 得 $p=-2, q=1$, 即抛物线向右平移了 2 个单位, 向上平移了 1 个单位.\n(3)首先, 抛物线 $y=a x^2$ 经过点 $\\left(-1,-\\frac{1}{2}\\right)$, 可求得 $a=-\\frac{1}{2}$.\n设原来的二次函数为 $y=-\\frac{1}{2}(x-h)^2+k$, 由题设知\n$$\n\\left\\{\\begin{array}{l}\n-h+3=0 \\\\\nk-2=0\n\\end{array}\\right.\n$$\n解方程组, 得 $h=3, k=2$. 故原二次函数为\n$$\ny=-\\frac{1}{2}(x-3)^2+2 .\n$$",6    "remark": "",7    "figures": []8}