math-ai/BlueMO

1{2    "source_file": "./raw_volume-zh/volume14/exercise7.tex",3    "problem_type": "calculation",4    "problem": "问题5. 设正整数 $n$ 的所有正约数从小到大依次为 $d_1<d_2<\\cdots<d_k(k \\geqslant 4)$, 且满足 $d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2=n$, 求 $n$ 的值.",5    "solution": "若 $n$ 为奇数,则所有正约数均为奇数, 从而 $d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2$ 为偶数, 不可能等于 $n$. 故 $n$ 为偶数, 从而 $d_1=1, d_2=2$.\n如果 $n$ 是 4 的倍数, 那么 $d_3, d_4$ 中有一个等于 4 , 另一个必须为奇数, 此时 $d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2 \\equiv 2(\\bmod 4)$, 不可能等于 $n$. 因此 $n=2 m, m$ 为奇数.\n显然 $d_3$ 为 $m$ 的最小奇质因数,则 $d_4$ 为偶数,故 $d_4$ 必为除 2 之外 $n$ 的最小偶约数, 从而 $d_4=2 d_3$.\n以下可知 $n=1^2+2^2+d_3^2+4 d_3^2=5\\left(1+d_3^2\\right)$, 故 5 是 $n$ 的约数, 因此 $d_3$, $d_4$ 不可能是 3 和 6 , 只能是 5 和 10 , 于是 $n=1^2+2^2+d_3^2+4 d_3^2=5(1+ \\left.5^2\\right)=130$.\n经检验, $n=130$ 满足题意.",6    "remark": "",7    "figures": []8}