math-ai/BlueMO

1{2    "source_file": "./raw_volume-zh/volume14/exercise5.tex",3    "problem_type": "calculation",4    "problem": "问题4. 将 $a \\times b \\times c\\left(a, b, c \\in \\mathbf{N}^*\\right)$ 的长方体分成 $a b c$ 个 $1 \\times 1 \\times 1$ 的小正方体.\n求长方体的一条对角线穿过的小正方体的个数.",5    "solution": "设长方体占据的空间区域为 $\\{(x, y, z) \\mid 0 \\leqslant x \\leqslant a, 0 \\leqslant y \\leqslant b, 0 \\leqslant z \\leqslant c\\}$.\n将质点沿对角线从 $(0,0,0)$ 穿行到 $(a, b, c)$ 的路径用参数 $t$ 表示为\n$$\nx=a t, y=b t, z=c t, t \\in[0,1] .\n$$\n在 $t$ 递增的过程中, 当且仅当 $x, y, z$ 中至少有一个为整数时, 质点将穿人一个新的小正方体,这里 $t \\in[0,1)$. 设\n$$\n\\begin{aligned}\n& A_x=\\{t \\mid t \\in[0,1), \\text { at } \\in \\mathbf{Z}\\}, \\\\\n& A_y=\\{t \\mid t \\in[0,1), b t \\in \\mathbf{Z}\\}, \\\\\n& A_z=\\{t \\mid t \\in[0,1), c t \\in \\mathbf{Z}\\},\n\\end{aligned}\n$$\n则有 $\\left|A_x\\right|=a,\\left|A_y\\right|=b,\\left|A_z\\right|=c$.\n又记 $d_1=(a, b), d_2=(b, c), d_3=(c, a), d=(a, b, c)$, 则\n$$\nA_x \\cap \\dot{A_y}=\\left\\{t \\mid t \\in[0,1), d_1 t \\in \\mathbf{Z}\\right\\},\n$$\n从而\n$$\n\\left|A_x \\cap A_y\\right|=d_1 .\n$$\n同理得 $\\left|A_y \\cap A_z\\right|=d_2,\\left|A_z \\cap A_x\\right|=d_3,\\left|A_x \\cap A_y \\cap A_z\\right|=d$.\n故由容斥原理得, 质点一共穿过的小正方体个数为\n$$\n\\begin{aligned}\n\\left|A_x \\cup A_y \\cup A_z\\right|= & \\left|A_x\\right|+\\left|A_y\\right|+\\left|A_z\\right|-\\left|A_x \\cap A_y\\right|-\\left|A_y \\cap A_z\\right|- \\\\\n& \\left|A_z \\cap A_x\\right|+\\left|A_x \\cap A_y \\cap A_z\\right| \\\\\n= & a+b+c-(a, b)-(b, c)-(c, a)+(a, b, c) .\n\\end{aligned}\n$$",6    "remark": "",7    "figures": []8}