math-ai/BlueMO

1{2    "source_file": "./raw_volume-zh/volume14/exercise5.tex",3    "problem_type": "calculation",4    "problem": "问题2. 全体正整数中凡是 3 的倍数或 4 的倍数都划去,但其中 5 的倍数都保留 (例如, $15,20,30,40,60, \\cdots$ 都保留). 将留下的数,按从小到大的顺序写成了一个数列 $\\left\\{a_n\\right\\}: a_1=1, a_2=2, a_3=5, \\cdots$. 求 $a_{2005}$.",5    "solution": "设 $a_{2005}=n$. 记 $s=\\{1,2, \\cdots, n\\}, A_i=\\{k \\mid k \\in s$ 且 $k$ 被 $i$ 整除 $\\}$.\n$A_i$ 在 $s$ 中的补集为 $\\overline{A_i}(i=3,4,5)$.\n$$\n\\begin{aligned}\n2005= & \\left|\\left(\\bar{A}_3 \\cap \\bar{A}_4 \\cap \\bar{A}_5\\right) \\cup A_5\\right| \\\\\n= & \\left|\\bar{A}_3 \\cap \\bar{A}_4 \\cap \\bar{A}_5\\right|+\\left|A_5\\right| \\\\\n= & |s|-\\left|A_3\\right|-\\left|A_4\\right|-\\left|A_5\\right|+\\left|A_3 \\cap A_4\\right|+\\left|A_3 \\cap A_5\\right|+\\left|A_4 \\cap A_5\\right| \\\\\n& -\\left|A_3 \\cap A_4 \\cap A_5\\right|+\\left|A_5\\right| \\\\\n= & n-\\left[\\frac{n}{3}\\right]-\\left[\\frac{n}{4}\\right]-\\left[\\frac{n}{5}\\right]+\\left[\\frac{n}{12}\\right]+\\left[\\frac{n}{15}\\right]+\\left[\\frac{n}{20}\\right]-\\left[\\frac{n}{60}\\right]+\\left[\\frac{n}{5}\\right] . \\label{eq1}\n\\end{aligned}\n$$\n利用 $x-1<[x] \\leqslant x$, 由 式\\ref{eq1} 得\n$$\n\\left\\{\\begin{array}{l}\n2005<n-\\left(\\frac{n}{3}-1\\right)-\\left(\\frac{n}{4}-1\\right)+\\frac{n}{12}+\\frac{n}{15}+\\frac{n}{20}-\\left(\\frac{n}{60}-1\\right) \\\\\n2005>n-\\frac{n}{3}-\\frac{n}{4}+\\left(\\frac{n}{12}-1\\right)+\\left(\\frac{n}{15}-1\\right)+\\left(\\frac{n}{20}-1\\right)-\\frac{n}{60}\n\\end{array}\\right.\n$$\n解得 $3336 \\frac{2}{3}<n<3346 \\frac{2}{3}$. 所以 $3337 \\leqslant n \\leqslant 3346$, 且 $n$ 不为 3 和 4 的倍数.\n故 $n=3337,3338,3340,3341,3343,3345,3346$.\n$n=3341$ 代入 式\\ref{eq1} 满足等式且 $n$ 唯一知 $a_{2005}=3341$.",6    "remark": "",7    "figures": []8}