math-ai/BlueMO

1{2    "source_file": "./raw_volume-zh/volume14/exercise18.tex",3    "problem_type": "calculation",4    "problem": "问题8. 能否用 2009 种颜色将所有正整数如下染色:\n(1) 每种颜色的数都有无穷多个;\n(2)不存在三个两两不同色的正整数 $a, b, c$, 满足 $a=b c$ ?",5    "solution": "能.\n取 2008 个素数 $p_1<p_2<\\cdots<p_{2008}$. 构造正整数集合 $\\mathbf{N}^*$ 的子集 $A_1$, $A_2, \\cdots, A_{2009}$ 如下: $A_1$ 表示所有被 $p_1$ 整除的数所组成的集合; $A_2$ 表示所有被 $p_2$ 整除但不被 $p_1$ 整除的数所组成的集合; $\\cdots \\cdots . . . A_{2008}$ 表示所有被 $p_{2008}$ 整除但不被 $p_1, p_2, \\cdots, p_{2007}$ 整除的数所组成的集合; $A_{2009}$ 表示所有不被 $p_1$, $p_2, \\cdots, p_{2008}$ 整除的数所组成的集合.\n则 $A_1, A_2, \\cdots, A_{2009}$ 两两不交且并集为 $\\mathbf{N}^*$.\n此时, 对任意 $x \\in A_m, y \\in A_n, m<n$, 有 $p_m \\mid x$, 故 $p_m \\mid x y$; 另一方面, $x, y$ 均不被 $p_1, p_2, \\cdots, p_{m-1}$ 整除,故 $x y$ 不被 $p_1, p_2, \\cdots, p_{m-1}$ 整除.\n从而 $x y \\in A_m$.\n故将每个集合 $A_i$ 各染上一种颜色即满足题意.",6    "remark": "",7    "figures": []8}