math-ai/BlueMO

1{2    "source_file": "./raw_volume-zh/volume14/exercise17.tex",3    "problem_type": "calculation",4    "problem": "问题3. 把 2006 分成若干个互不相等的正整数的和, 且使得这正整数的乘积最大,求出该乘积.",5    "solution": "由于把 2006 分成若干个互不相等的正整数的和的分法只有有限种, 因而一定存在一种分法,使得这些正整数的乘积最大.\n若把 1 作为因子, 乘积显然不会最大 (只需将 1 加到另一个因子上去即可). 把 2006 分成若干个互不相等的正整数的和, 因子个数越多, 乘积越大, 为了使因子个数尽可能地多, 我们把 2006 分成 $2+3+4+\\cdots+n$ 直到和不小于 2006.\n如果和比 2006 大 1 , 这时, 因子个数至少减少 1 个, 为了使乘积最大, 应去掉最小的 2 , 并将最后一个数 (最大) 加上 1 .\n如果和比 2006 大 $m(m \\neq 1)$, 那么去掉等于 $m$ 的那个数, 便可使乘积最大.\n令\n$$\n\\begin{gathered}\n2+3+4+\\cdots+n \\geqslant 2006, \\\\\n\\frac{n(n+1)}{2}-1 \\geqslant 2006, \\\\\nn^2+n-4014 \\geqslant 0 . \\label{eq1}\n\\end{gathered}\n$$\n由于 $n$ 是满足不等式 \\ref{eq1} 的最小正整数, 所以 $n=63$ (因 $62^2+62-4014= \\left.-108<0,63^2+63-4014=18>0\\right)$. 这时\n$$\n\\begin{gathered}\n2+3+4+\\cdots+63=2015, \\\\\n2015-2006=9 .\n\\end{gathered}\n$$\n所以,把 2006 分成\n$$\n(2+3+\\cdots+8)+(10+11+\\cdots+63),\n$$\n这一形式时, 这些数的乘积最大, 其积为\n$$\n2 \\times 3 \\times \\cdots \\times 8 \\times 10 \\times \\cdots \\times 63=\\frac{63 !}{9} .\n$$",6    "remark": "",7    "figures": []8}