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1{2    "source_file": "./raw_volume-zh/volume14/chapter7.tex",3    "problem_type": "calculation",4    "problem": "例8. 设有一个正 $2 n+1$ 边形 $(n>1)$. 两人按如下法则做游戏: 轮流在该正多边形内画对角线; 每人每次画一条新的 (以前没有画过的)对角线,而它恰好与已画出的偶数条对角线相交 (交点在正多边形内); 凡无法按照要求画出对角线者即为负方.\n问: 谁有取胜策略?",5    "solution": "解:将先开始的人称为甲, 后开始的人称为乙.\n我们断言: 如果 $n$ 为奇数,则乙必胜; 如果 $n$ 为偶数,则甲必胜.\n对正 $2 n+1$ 边形的任何一条对角线来说, 它两侧的顶点个数和为奇数, 必有一侧有偶数个顶点.\n因此每条对角线与偶数条其他对角线相交.\n假设到某个时刻游戏无法继续, 那么此时每条未画出的对角线都与奇数条已画的对角线相交, 也与奇数条未画的对角线相交.\n这样的情况只能出现在未画的对角线条数为偶数的时刻 (事实上, 假设此时未画的对角线 $d_i$ 共奇数条, 由于每个 $d_i$ 上共有奇数个它们相互之间的交点, 因而从所有 $d_i$ 上数得的交点总数为奇数, 但每个交点恰被计数两次, 数出的交点数理应为偶数, 矛盾). 由此可知, 甲能取胜当且仅当该正 $2 n+1$ 边形的对角线总数为奇数.\n在正 $2 n+1$ 边形中, 对角线共有 $\\frac{(2 n+1)(2 n-2)}{2}=(n-1)(2 n+1)$ 条,\n所以当 $n$ 为奇数时, 对角线有偶数条, 乙必胜; 当 $n$ 为偶数时, 则甲必胜.\n而且任何一方取胜不需要制定特别的策略.",6    "remark": "注:本题不妨先对 $n=2,3$ 等较小情况予以探索, 发现 $n=2$ 时甲必胜, $n=3$ 时乙必胜, 同时也发现当 $n=3$ 时情况已经变得相当复杂, 很难真正为乙设计一种合适的取胜策略, 但另一方面又能发现, 乙获胜似乎是自然而然的, 无需特别的策略.\n于是我们再回到题目条件,充分利用\"正 $2 n+1$ 边形\" 及\"恰好与已画出的偶数条对角线相交\" 这些涉及奇偶性的信息来作分析, 并结合了\"算两次\" 的技巧,最终获知游戏必停止于 \"偶数条对角线未画\" 的时刻.\n从而, 一旦确定正 $2 n+1$ 边形对角线条数的奇偶性, 就能确定获胜方.",7    "figures": []8}