math-ai/BlueMO

1{2    "source_file": "./raw_volume-zh/volume14/chapter12.tex",3    "problem_type": "calculation",4    "problem": "例1. 游戏\" 24 点\"的规则是: 随机抽出 4 个不大于 10 的正整数(数字可以有重复), 要用它们组成一个四则运算式, 使运算结果等于 24 (数字必须都用,有些情况下是无解的). 某同学为了备战学校的 \"24 点\"比赛, 提前列出所有可能出现的 4 个数的情况进行研究.\n如果不计 4 个数的顺序, 那么他共需列出多少种情况?",5    "solution": "解:一分以下几类讨论:\n(1)如果 4 个数全相同,则有 10 种情况.\n(2)如果 4 个数中出现两种数字,那么当有 3 个相同时,有 $\\mathrm{P}_{10}^2=90$ 种情况; 当有两个相同, 另两个也相同时,有 $\\mathrm{C}_{10}^2=45$ 种情况.\n共 135 种情况.\n(3) 如果 4 个数中出现三种数字, 则必有一种出现两次, 另两种各出现一次.\n出现两次的数有 10 种选法, 另两个数字有 $\\mathrm{C}_9^2=36$ 种选法, 根据乘法原理可得共 360 种情况.\n(4)如果 4 个数两两不同, 则有 $\\mathrm{C}_{10}^4=210$ 种情况.\n综上,该同学共需列出 $10+135+360+210=715$ 种情况.",6    "remark": "",7    "figures": []8}