math-ai/BlueMO

1{2    "source_file": "./raw_volume-zh/volume14/chapter1.tex",3    "problem_type": "calculation",4    "problem": "例3. (1)13 个小朋友围成一个圆圈, 从圈上至多能选出几个人, 使得他们互不相邻?\n(2) 从 $1,2, \\cdots, 13$ 这 13 个数中至多可以选出几个数, 使得选出的数中,每两个数的差既不等于 5 ,也不等于 8 ?",5    "solution": "解:1) 把这 13 个小朋友依次编号为 $1,2, \\cdots$, 13, 如图(<FilePath:./images/volume14/figures/fig-c1i1.png>) 所示, 那么选 6个人是可以的, 例如, 选 1, $3,5,7,9,11$ 号这 6 位小朋友, 他们是不相邻的.\n现在来说明至多可选 6 名.\n先任意选定 1 个, 不妨设为 1 号, 这时候与他相邻的 2 号与 13 号不能选了.\n把剩下的 10 位小朋友配成 5 对: $(3,4) 、(5,6) 、(7,8)$ 、 $(9,10) 、(11,12)$. 在这 5 对中,每一对中至多只能选出 1 个, 连同 1 号在内, 至多可选出 6 个人, 他们互不相邻.\n综上所述, 从圈上至多能选出 6 个人, 他们互不相邻.\n(2) 我们把这题\"化归\"为题 (1).\n我们把 $1,2, \\cdots, 13$ 按如下规则排成一个圆圈: 先排 1 , 在 1 的旁边放 9 (与 1 的差为 8), 在 9 的旁边放 4 (与 9 的差为 5 ), ……这样继续放下去, 每个数旁边的数与它相差 8 或 5 ,最后得到如图(<FilePath:./images/volume14/figures/fig-c1i2.png>) 所示的一个圈.\n圈上的数满足:\n(1) 每两个相邻的数的差或是 8 , 或是 5 ;\n(2) 两个不相邻的数的差既不等于 5 , 也不等于 8 .\n于是问题 (2) 就转化为: 在这个圈上至多能选几个数, 使每两个数在圈上不相邻? 由 (1) 的结论知, 答案是 6 . 例如, 选 $1,4,7,10,13,3$.",6    "remark": "注从题目上看, (1), (2) 两个小题除了 13 这个数字外, 没有任何相同的地方, 如果直接解 (2), 是比较困难的, 通过转化, 把 (2) 化归为 (1), 问题就解决了.",7    "figures": [8        "./images/volume14/figures/fig-c1i1.png",9        "./images/volume14/figures/fig-c1i2.png"10    ]11}