math-ai/BlueMO

1{2    "source_file": "./raw_volume-zh/volume13/exercise11.tex",3    "problem_type": "calculation",4    "problem": "问题3. 有 $n$ 名选手参加比赛, 历时 $k$ 天, 其中任何一天 $n$ 名选手的得分都恰好是 . $1,2,3, \\cdots, n$ 的一个排列.\n如果在第 $k$ 天末, 每个选手的总分都是 26 . 求 $(n, k)$ 的所有可能取值.",5    "solution": "由条件\"每个选手的总分都是 26 \", 想到计算第 $k$ 天后 $n$ 名选手得分之和 $S$. 一方面, 每天的得分为 $1+2+3+\\cdots+n$, 所以, $S=k(1+2+\\cdots+n)$. 另一方面, 每个选手得 26 分, 从而 $S=26 n$. 所以, $k(n+1)=52$. 所以 $(n, k)= (51,1) 、(25,2) 、(12,4) 、(3,13)$. 其中 $(n, k)=(51,1)$ 时, 各选手的总分互异, 矛盾, 故舍去.\n由下面的构造可知, 其他 3 种情况都是可能的.\n当 $(n$, $k)=(25,2)$ 时, 第 $i$ 号选手的名次集合为 $A_i=\\{i, 26-i\\}(i=1,2, \\cdots$, $25)$. 当 $(n, k)=(12,4)$ 时, 第 $i$ 号选手的名次集合为 $A_i=\\{i, 13-i, i, 13-i\\}(i=1,2, \\cdots, 12)$. 当 $(n, k)=(3,13)$ 时, 各选手的名次集合为 $A_1= \\{2,3,1\\} \\cup\\{1,3,1,3, \\cdots, 1,3\\} 、 A_2=\\{3,1,2\\} \\cup\\{2,2,2,2, \\cdots, 2$, 2\\}、 $A_3=\\{1,2,3\\} \\cup\\{3,1,3,1, \\cdots, 3,1\\}$.",6    "remark": "",7    "figures": []8}