math-ai/BlueMO

1{2    "source_file": "./raw_volume-zh/volume13/chapter7.tex",3    "problem_type": "calculation",4    "problem": "例10. 设集合 $S=\\{1,2, \\cdots, 50\\}, X$ 是 $S$ 的任意子集, $|X|=n$. 求最小正整数 $n$, 使得集合 $X$ 中必有三个数为直角三角形的三条边长.",5    "solution": "解:直角三角形三边长分别为 $x, y, z$, 有 $x^2+y^2=z^2$, 其正整数解可表示为\n$$\nx=k\\left(a^2-b^2\\right), y=2 k a b, z=k\\left(a^2+b^2\\right), \\label{eq1}\n$$\n其中 $k, a, b \\in \\mathbf{N}^*$ 且 $(a, b)=1, a>b$.\n首先, $x, y, z$ 中必有一个为 5 的倍数.\n否则, 若 $a, b, c$ 均不是 5 的倍数, 则 $a, b, c$ 都是形如 $5 m \\pm 1,5 m \\pm 2$ 的数 $(m \\in \\mathbf{N})$, 则 $a^2 \\equiv \\pm 1(\\bmod 5)$, $b^2 \\equiv \\pm(\\bmod 5), c^2 \\equiv \\pm 1(\\bmod 5)$, 而 $c^2=a^2+b^2 \\equiv 0$ 或士2,矛盾!\n令集 $A=\\{S$ 中所有与 5 互质的数 $\\}$, 则 $\\operatorname{Card} A=40$. 若以 10, 15, 25, 40,45 分别作直角三角形的某边长, 则由 式\\ref{eq1} 知可在 $A$ 中找到相应的边构成如下直角三角形: $(10,8,6),(26,24,10),(15,12,9),(17,15,8)$, (39, $36,15),(25,24,7),(40,32,24),(41,40,9),(42,27,36)$, 此外, $A$ 中再没有能与 $10,15,25,40,45$ 构成直角三角形三边的数.\n令 $M=A \\cup\\{10,15,25,40,45\\} \\backslash\\{8,9,24,36\\}$, 则 $\\operatorname{Card} M=41$.\n由以上知, $A$ 中三数不能组成直角三角形, 由于 $M$ 中不含 $8,9,24,36$, 所以 $10,15,25,40,45$ 在 $M$ 中找不到可搭配成直角三角形三边的数, 即 $M$ 中任三数均不构成直角三角形三边,故 $n \\geqslant 42$.\n另外, 由 式\\ref{eq1} 的整数解可作集合: $B=\\{3,4,5,17,15,8,29,21,20$, $25,24,7,34,16,30,37,35,12,50,48,14,41,40,9,45,36,27\\}$, 其中横线上三数可作直角三角形三边, Card $B=27$.\n$S \\backslash B$ 中元素的个数为 $50-27=23$, 在 $S$ 中任取 42 个数, 因 $42-23=19$, 于是, 取的 42 个数中必含有 $B$ 中的 19 个数, 因此 $B$ 中至少有一条横线上的三个数在所选的 42 个数中, 即任取 42 个数, 其中至少有三数可作直角三角形三边, 因此, $n$ 的最小值为 42 .",6    "remark": "",7    "figures": []8}