math-ai/BlueMO

1{2    "source_file": "./raw_volume-zh/volume13/chapter1.tex",3    "problem_type": "calculation",4    "problem": "例1. 设 $m$ 个互异的正偶数与 $n$ 个互异的正奇数的和为 1987 , 求 $3 m+ 4 n$ 的最大值.",5    "solution": "分析:解本题的难点在于约束条件较复杂, 可先利用不等式将其化简,进而将其放缩到出现目标函数式.\n设题给的 $m$ 个正偶数为 $a_1, a_2, \\cdots, a_m, n$ 个正奇数为 $b_1, b_2, \\cdots, b_n$, 则\n$$\n\\left(a_1+a_2+\\cdots+a_m\\right)+\\left(b_1+b_2+\\cdots+b_n\\right)=1987 . \\label{eq1}\n$$\n注意到极值函数是关于 $m 、 n$ 的函数,而在约束条件中, $m 、 n$ 仅作为各变量的下标.\n于是, 应将 式\\ref{eq1} 中对 $a_1, a_2, \\cdots, a_m$ 及 $b_1, b_2, \\cdots, b_n$ 的约束转化为对 $m 、 n$ 的约束.\n因为 $a_1, a_2, \\cdots, a_m$ 与 $b_1, b_2, \\cdots, b_n$ 是互异的正偶数与正奇数,所以\n$$\n\\begin{aligned}\n1987 & =\\left(a_1+a_2+\\cdots+a_m\\right)+\\left(b_1+b_2+\\cdots+b_n\\right) \\\\\n& \\geqslant(2+4+6+\\cdots+2 m)+(1+3+\\cdots+2 n-1) \\\\\n& =m^2+n^2+m . \\label{eq2}\n\\end{aligned}\n$$\n注意到我们的目标是: $3 m+4 n \\leqslant A$ (常数) 的形式, 呈现 Cauchy 不等式结构, 所以应将 式\\ref{eq2} 的右边配方, 化为\"平方和\". 从而\n$$\n1987+\\frac{1}{4} \\geqslant\\left(m+\\frac{1}{2}\\right)^2+n^2,\n$$\n$$\n\\begin{aligned}\n\\left(1987+\\frac{1}{4}\\right)\\left(3^2+4^2\\right) & \\geqslant\\left(3^2+4^2\\right)\\left[\\left(m+\\frac{1}{2}\\right)^2+n^2\\right] \\\\\n& \\geqslant\\left(3\\left(m+\\frac{1}{2}\\right)+4 n\\right)^2,\n\\end{aligned}\n$$\n所以 $3 m+\\frac{3}{2}+4 n \\leqslant 5 \\sqrt{1987+\\frac{1}{4}}$, 所以 $3 m+4 n \\leqslant\\left[5 \\sqrt{1987+\\frac{1}{4}}-\\frac{3}{2}\\right]=$ 221.\n下面构造一组数, 使不等式成立等号.\n先找 $(m, n)$, 使 $3 m+4 n=221$.\n此不定方程有多个解, 但为了使 $(m, n)$ 满足 式\\ref{eq2}, 应使相应的偶数和奇数都尽可能小, 这就要求 $m$ 与 $n$ 充分接近.\n通过试验, 得到 $m=27, n=35$ 时, $3 m+4 n=221$, 且 $m^2+n^2+m=1981<1987$, 满足 式\\ref{eq2}.\n取最小的 27 个正偶数为 $a_1=2, a_2=4, \\cdots, a_{27}=54$, 最小的 35 个正奇数为 $b_1=1, b_2=3, \\cdots, b_{34}=67, b_{35}=69$, 则\n$$\n\\left(a_1+a_2+\\cdots+a_{27}\\right)+\\left(b_1+b_2+\\cdots+b_{35}\\right)=1987-6,\n$$\n再将 $b_{35}$ 修改为: $69+6=75$, 得\n$$\n\\left(a_1+a_2+\\cdots+a_{27}\\right)+\\left(b_1+b_2+\\cdots+b_{35}\\right)=1987 .\n$$\n综上所述, $3 m+4 n$ 的最大值为 221 .",6    "remark": "注:本例解题的关键, 是将 \\ref{eq1} 式化为 \\ref{eq2} 式, 而后面利用 Cauchy 不等式则不是本质的.\n实际上, 得到 \\ref{eq2} 式后, 求 $3 m+4 n$ 的极值也可用三角代换:\n由 式\\ref{eq2}, 可令 $r=\\sqrt{\\left(m+\\frac{1}{2}\\right)^2+n^2}, m=-\\frac{1}{2}+r \\cos \\theta, n=r \\sin \\theta$,\n则 $3 m+4 n=3 r \\cos \\theta+4 r \\sin \\theta-\\frac{3}{2}=5 r \\sin (\\theta+t)-\\frac{3}{2} \\leqslant 5 r-\\frac{3}{2} \\leqslant 5 \\sqrt{1987+\\frac{1}{4}}-\\frac{3}{2}$ (下同).",7    "figures": []8}